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1、专题十二 最不利原则在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题.解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 。着眼于极端情形; 2分析推理-确定最值;3。枚举比较确定最值； 。估计并构造。常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各0个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有个小球颜色相同？分析与解答:如果碰巧,可能你一次取出的个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色
2、也可能不相同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求,那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢?它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨呢?那就是我们摸出了个红球、3个黄球和3个蓝球,此时三种颜色的球都是个,却无4个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同. 由此我们看到了,最不利原则就是从“极端糟糕、从“运气最差”
3、的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢?那就是题目中出现要“保证”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。例2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球个、蓝球10个。现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个?分析与解答：与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什么呢？是取了3个红球、个黄球和4个蓝球,共11个.此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此，所求的最小值是1。例3一把钥匙只能开一把锁，现有0把钥匙和1把
4、锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?分析与解答：最不利的情形、拿出第一把钥匙试了把锁都不对，这时不用再试,这把钥匙必定是剩下的最后一把锁的。即第一把锁最不利的情况是试验了9次.同理,第二把钥匙最不利的情形是前8次都没打开，即试了次。所以，要使全部的钥匙和锁相匹配，最不利的情形共要试验、972+145次。例4在一副扑克牌中,最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？分析与解答：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是、取出四种花色中的三种花色的牌各13张,再加上张王牌。这41张牌中没有四种花色。剩
5、下的正好是另一种花色的3张牌,再抽1张，四种花色都有了。因此，最少要拿出42张牌,才能保证四种花色都有。练习一1。有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取多少颗？如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗？一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取多少张牌，才能保证其中必有3种花色？3。 在一付扑克牌中（4张),最少要拿出多少张,才能保证在拿出的牌中四种花色都有？4在一个口袋中有1个黑球、6个白球、 4个红球。问:至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？5口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1)至少
6、取多少根才能保证三种颜色都取到?（2)至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子?（3)至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子?6.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有个球是同一颜色的?7。 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼?8。 某小学五年级的学生身高(按整数厘米计算），最矮的是18厘米,最高的是60厘米.如果任意从这些学生中选出若干人，那么,至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同?9. 一把钥匙只能打开一把锁，现有0把锁和其中的把钥匙，要保证将这把钥匙都配上锁，至少需要试验多
7、少次？10要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装个乒乓球。证明:至少有个盒子中的乒乓球数目相同。专题十三 加法原理与乘法原理加法原理例 一个口袋中装有8个小球，另一个口袋中装有5个小球,所有这些小球的颜色各不相同.从两个口袋中任取一个小球，共有多少种不同的取法?分析：在两个口袋中任取一个小球有两类办法，第一类办法是从装有8个小球的口袋中任取一个,可以有8种取法。第二类办法是从装有5个小球的口袋中任取一个，可以有5种取法.根据加法原理，得到不同取法的种数是：54=9（种)答:从两个口袋中任取一个小球可以有种不同的取法.例2 从甲村到乙村有2条路可走,从乙村到丙村有3条路可走
8、， 从甲村到丙村有4条路可走，问甲村到丙村共有多少种不同的走法？分析：从甲村到丙村可按两类办法完成,第一类办法是从甲村经过乙村到达丙村,这类办法是分两个步骤进行的:第一步从甲村到乙村有2种走法；第二步由乙村到丙村有3种走法,这两步缺一不可，根据乘法原理,这类办法中共有3=（种)走法.第二类办法是从甲村直接到达丙村，有4种走法，于是根据加法原理得到从甲村到达丙村的不同走法的种数是2410（种)。 答：从甲村到达丙村共有10种不同的走法。练习一1.某火车站,上站台有电梯2部，自动梯部，扶梯3部.试问上站台有多少种不同的走法？2一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本
9、阅读，不同的选法有多少种？某人有一个5分币、四个2分币、八个分币。现在要拿出8分钱,有几种不同的拿法？4.书架上有本不同的画报和7本不同的书.每次取一本看，有多少种取法?.甲地到乙地,一天中三班汽车、二班火车,还有一班飞机.这一天从甲地到乙地有多少种不同的走法?.从甲地到乙地,可以乘火车，也可乘轮船,还可以乘飞机。在一天中,从甲地到乙地有4班火车,2班轮船，1班飞机。那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?。如图1,其中有7个点和1条线段,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过，问：这只甲虫最多有几种不同走法?ABCD 图1 图28.如图2，一只
10、小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。要求任何点和线段都不重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？9十把钥匙开十把锁，但钥匙已经搞乱了，问最多试多少次即可将钥匙和锁配起来？1。10名围棋手举行单循环赛（每两名选手都要比赛一次），共要安排多少盘比赛？11。在两位整数中，十位数字小于个位数字的共有多少个？12.从19这九个数中,每次取2个数，这两个数的和必须大于10，能有多少种取法？20名同学进行象棋比赛,规则是输的人不能再上场比赛（即淘汰赛）.问决出冠军，要赛多少盘？1从0，1,，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法有多少种。1把全部三位正整数同时印刷出来，“0”这个铅字需要
11、多少个?16。小明为了练习加法,做了分别写着，2,3,4,5，6,7，8,0这十个数的卡片放在右边的抽屉里,又做了同样的十张放在左边的抽屉里，然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法,这样一共可以组成多少个不同的算式，其中和为偶数的情况有几种？ （12和21算作同一种算式)1一平面上有个点，每两点之间可作一条直线.如果没有三点或三个以上的点在同一条直线上，那么这5个点之间可连成多少条直线？18。在一个十二边形中，可作出多少条对角线？2。乘法原理从甲地到乙地有3条不同的道路,从乙地到丙地有2条不同的道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？从图28可以看出，要从甲地经乙地到丙地必须分成两步,
12、第一步是从甲地到乙地，有种不同的走法,第二步是从乙地到丙地，有种不同的走法,那么从甲地经乙地到丙地共有不同走法：32=6(种）这个简单的问题反映了一个重要的原理：例1 书架上有本不同的画报、10本不同的科技书，请你每次从书架上任意取一本画报、一本科技术，共有几种不同的取法？解：第一步，取一本画报，有6种方法；第二步，取一本科技书,有10种方法.根据乘法原理，一共有6160(种)不同取法 答:共有60种不同的取法。 练习二。王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、1米跑和垒球四项中的一项比赛,问报名的结果会出现多少种不同的情形？2。王芳有四件上衣、三条裤子,两双皮鞋，她能有多少天穿戴装
13、束不同？一座房屋有四个门分别为A、B、C、D，从某一个门进,又从其它的门出的方法共有多少种？完成下列的树状图。4。商场有3个大门,商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有多少种？5从写有1，2,3，9九张数字的卡片中,抽出两张数字和为奇数的卡片，共有多少种不同的抽法。个学校进行围棋比赛，双方各出5名男队员和3名女队员.（）每一方的一名队员都要和另一方的每一个队员进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？(2）若一方的男队员和另一方的男队员，一方的女队员和另一方的女队员都赛一场，(男队员与女队员之间不进行比赛),一共要比赛多少场？7一天中午,某学生食堂供应种主食、6种副食，小明到食堂吃饭,主、副食
14、各选一种，问他有多少种不同的选项?8。某班的小图书室，有不同的文艺书8本,不同的自然科学书20本，如果从这两类图书中各借一本，共有多少种借法？9.用一张10元、一张5元、一张2元、一张1元，可组成多少种不同的币值?.乒乓球队里有男队员5人,女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有多少种不同的选法？11.游人登山，从东侧通往山顶的道路有3条,从西侧通往山顶的道路有条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？12红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码，2，,任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有多少种？3甲、乙两人在方格中各放一枚棋子,要求两枚棋子不
15、在同一行,也不在同一列共有多少种放法?14。壹角的人民币张,贰角的人民币2张,壹角的人民币3张，如果至少取一张，至多取9张，可配成多少种不同的钱数？3。加法原理、乘法原理综合运用 这里请同学们注意乘法原理和加法原理的不同之处。若完成一件事要分成若干步骤，每一步骤一个接一个地完成，并且每一步骤都是缺一不可的,这件事才能完成，则用乘法原理若完成一件事的方法分成几类，每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，则用加法原理.但很多情况是这两个原理的混合使用。例1 书架上摆着6本不同的儿童画报,1本不同的少年文艺及7本不同的故事会。（1）每次从书架上任取一本儿童画报、一本少年文艺、一本故事会,共有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本有多少种不同的取法？分析：(1）每次从书架上任取一本儿童画报，一本少年文艺,一本故事会,必须分三步进行，第一步从儿童画报中取一本，有6
