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1、外接球与内切八大模型一老师专用类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)图1图2图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2,即2RJOb2c2,求出R例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)A16B.20C.24D.32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是9解：(1)Va2h16,a2,4R2a2a2h2441624,S24,选C；(2)4R23339,S4R29(3)在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA2J3,则正三棱锥SABC
2、外接球的表面积是。36如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E形ABC的中心，SH平面ABC,ACBC,ADBD,CDAABSC,同理：BCSA,AC本题图如图(3)-2,AMMN,AMSB,ACSB,SB连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角SHAB人IB,AB平面SCD,/SB,即正三棱锥的对棱互垂直，/SB/MN,/A4二二卜十二三弄;C平面SAC,、-4HN解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：SBSA,SBSC,SBSA,BCSA平面SBC,SASC,故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(243)2(2/3)2(273)236,正三棱锥SAB
3、C外接球的表面积是36D、IESA,b(3)题-1S-M即4R236,/J1B(3)题-2(4)在四面体SABC中，SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接(5)球的表面积为（D）A.11B.7如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为10C.36、4、40D.33,那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几解析:(4)在ABC中，BC2AC22AB2ABBCcos1207,BC用,ABC的外接球直径为2rsinBCBAC（5）三条侧棱两两生直,ab12bcabc4222
4、(2R)2(2r)2SA240万设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,c4,c2,(2R)2b2229,S4R29(6)(2R)acb22oD23c3,R4类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5,PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD,则PD必过球心O;第二步：O1为ABC的外心，所以OOi平面ABC,算出小圆Q的半径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asinAbsinBc12r),OO1PA；sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2PA2（2r）22RJPA2(2r)2
5、；R2r2OO12R,r2OO122.题设：如图6,7,8,P的射影是ABC的外11、三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图8-1图8-2图8-3解题步骤:第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA201A2O1O2R2（hR）2r2,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA.3B.2C.16D,以上都不对3解：选C,(3R)21R2,323RR21R
6、2,42.3R0,23,S4R2163类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1 .题设：如图9-1,平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r;第二步：在PAC中，可根据正弦定理一c2R,求出RsinAsinBsinC2 .如图9-2,平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2,R2-O1O23 .如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥
7、的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA201A2O1O2R2（hR）2r2,解出R4 .如图9-3,平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2PA2（2r）22RVPA2（2r）2；R2r2OO12R、r2OQ2例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为V2
8、,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R7,S4R249,（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h1,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是44hr,故球心在正万形的中心ABCD处，R1,V一3SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，2R2,R1,V（3）在三麴隹PABC中，PAPBPCJ3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C.4D.解：选D,圆锥A,B,C在以r3,J的圆上,2（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球径，且SC2,则此棱锥的体积为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直
9、B.D.解：OOi.R2r21(J23,6一，h32,633sh1招26工类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）10-3,直三棱柱内接于球图10-2,图题设：如图10-1,是任意三角形）（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OOi平面ABC;第二步：算出小圆Oi的半径AOi1r,OOiAAi21.h（AA1h也是圆枉的局）；22h27.r2()2,解出R2_2_22_2h第三步：勾股定理:OAOiAOiOR(-)2例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为-，
10、底面周长为3,则这个球的体积为81解：设正六边形边长为a,正六棱柱的图为h,底面外接圆的关径为r,则a，2底面积为S6aJ2运,V柱Shh9,hJ3,R2（立）2凸21,4288822一4R1,球的体积为V3(2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120,则此球的表面积等于解：BC2V3,2r234,r2,R5s20sin120(3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60,则多面体EABCD的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r1於,OO11,DR532；法二：01M02D713
11、2,R2汴4,R2,s16(4)在直三棱柱ABCABQ中,AB4,AC6,A1AAi34则直三棱柱ABCA1B1cl的外接球的表面积为160解析:BC2163628,BC2.7,2r2,7,324.73r2.7R22840一,3160S-3类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H/DH2;第二步：过H/口H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0,连接0E,0C；2.22第二步：解0EH1,算出0H1,在Rt0CH1中，勾股定理：0H1CH10C例5三棱
12、锥PABC中，平面PAC平面ABC,PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.解析：2rl2r22sin60R202H2r12145-.15R3333法二：02H1O1H,31.3AH1,15BC,ACBD)第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBCx,ABCDy,ACBDz,列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R)ab2补充:VaBCDabc1abc61.4abc3第三步：根据墙角模型,2Rz图122x2ca2b2yR2AO2AH201H20102-,R3类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相
13、等，求外接球半径（ABCD,AD第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；R2222222xyzxyz,RJ,求出R,88例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是1的球面上，其中底面的三个顶点-3C3,34.312解：（1）截面为PC01,面积是2；（2）高hR1,底面外接圆的半径为2R2,设底面边长为a,则2Rsino502,23.34（1）题解答图(3)在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3
