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1、1.8支出最小化1支出最小化模型及最优解模型目标函数：约束条件：支出最小化模型：简化的支出最小化模型：效用最大化模型和支出最小化模型的比较拉格朗日函数一阶必要条件二阶充分条件最优解由一阶必要条件（及二阶充分条件）求得最优解和它们是和的函数：2希克斯需求函数定义说明性质关于：=？关于A=？B零次齐次：3支出函数定义将支出最小化问题的解和代入拉格朗日函数即得到相应的支出函数：性质关于：关于关于关于：关于：关于A关于：谢菲德引理证明关于：假定最优解总为“内解”。关于：递增B一次齐次C凹4支出函数的应用：价格变动对福利的影响补偿变动定义图示公式等价变动定义图示公式补偿变动和等价变动的比较1.9效用最大
2、化和支出最小化：对偶分析1对偶问题2间接效用函数和支出函数给定一个效用水平（以及价格水平）。根据支出最小化模型，可以求得一个相应的最小支出。再以该最小支出作为给定的收入水平，即令，则根据效用最大化模型，又可以求得一个相应的最大效用。该最大效用应当恰好等于一开始时的效用水平，即有。给定一个收入水平（以及价格水平）。根据效用最大化模型，可以求得一个相应的最大效用。再以该最大效用作为给定的效用水平，即令，则根据支出最小化模型，又可以求得一个相应的最小支出。该最小支出应当恰好等于一开始时的收入水平，即有。3马歇尔需求函数和希克斯需求函数4需求的基本方程：斯卢茨基方程说明斯卢茨基方程：紧凑公式公式（需求
3、理论的基本方程式）说明证明斯卢茨基方程：展开公式公式证明证明5希克斯矩阵及其性质希克斯矩阵希克斯矩阵的性质自身替代项非正证明交叉影响项对称证明负半定证明6斯卢茨基矩阵及其性质7替代效应和收入效应特殊的斯卢茨基方程：替代效应和收入效应正常品、劣等品和吉芬品正常品：劣等品：但吉芬品：且收入效应超过替代效应的可能性8弹性形式的斯卢茨基方程及其性质方程（等式两边同乘以）（最后一项乘以并整理）（弹性定义）其中，各项的意义如下：（马歇尔需求的价格弹性和交叉价格弹性）（希克斯需求的价格弹性和交叉价格弹性）（马歇尔需求的收入弹性）（在第种商品上的支出占总支出即收入的比率）当时有：性质：所有商品的收入弹性的加权和等于15
