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1、难点自选专项四 “函数与导数”压轴大题的抢分方略全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷运用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明21函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题T21导数在研究不等式及极值问题的应用1运用导数研究函数的单调性、函数的零点问题T21运用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明T21导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩T21运用导数解决函数的零点问题、不等式的证明T21运用导数判断函数的单调性、不等式证明及值域问题T2三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明21导数日益成为解决问题必不可少的工具,运用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常
2、用题型,而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点解答题的热点题型有:(1）运用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)运用导数证明不等式或探讨方程根；(3)运用导数求解参数的范畴或值考法方略(一)运用分类讨论思想探究函数的性质典例设f（）=xln ax2+(2-)x，a.()令()f（x),求g（)的单调区间；(2）已知f（x）在x=1处获得极大值,求实数a的取值范畴.解(1)由f（x)lnx2a+2a,可得g(）lnx-2ax2a，x(0,+)因此g()-2a=.当a0,(0,)时，g（)0，函数g(x）单调递增;当a0,x时，g(x),函数（x)单调递增,时,g(x)0，
3、函数g（x)单调递减.因此当时,()的单调增区间为(0，）；当a0时,()的单调增区间为，单调减区间为.(2）由(1)知,f(）.当0时,(x)单调递增,因此当(,1)时,f(x)0，(x)单调递减;当x(1,)时，()0，f()单调递增.因此()在处获得极小值，不合题意.当01,由（1)知f(x)在内单调递增，可得当x（0，1）时,f(x)0，当时,（x）0.因此f（x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，因此f（x)在x处获得极小值，不合题意当a=时，f（)在(0,1)内单调递增，在（1,）内单调递减,因此当(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时,当x时，(x)0,(x
4、）单调递增,当x(1，+)时，f()0,f（x)单调递减因此f(x)在x1处取极大值，符合题意.综上可知,实数a的取值范畴为.题后悟通 分类讨论思想解决有关函数性质问题的方略(1）何时讨论参数?在求解中,若参数的取值影响所求成果,就要分类讨论如本例(1)中由（x)=拟定单调区间时，对的取值要分类讨论.(2)如何讨论参数?解答此类问题的核心是如何分类,分类时要结合题目条件,对参数取值范畴进行划分，进而研究其问题.如本例()中分类的根据是与1的大小比较.应用体验1(全国卷）已知函数(x)x+aln .(1）讨论f(x)的单调性；(2)若(x)存在两个极值点x1,x2，证明：2,令f（x）=0,得或
5、x.当时,()0.因此f(x）在，上单调递减,在上单调递增.(2)证明:由(1)知,当且仅当a2时,f(）存在两个极值点由于f(x)的两个极值点x1，x满足x2ax+1=0,因此xx=1,不妨设x1x2,则x21.由于-+a=2a=a,因此a等价于x22l x20.设函数(x)-x+2ln ，由(1)知,g()在(0,+)上单调递减.又g（1）0，从而当(1，)时,g(x)0因此-x+2n x,即0)，f（1)a1=0，解得a=,当a=1时,f(x)x+xln x,即(x）ln x，令f()0,解得x1；令(x)，解得0x-2，当0x1时,f(x)=（nx)0；当x0且x时,f（)0；当时，显
6、然f(x)+如图，由图象可知,m1,即m1,由可得-20,得0xe且x；由(x）e因此当x=时,h()有极大值,即为最大值h(e)=又由于h=e，（e2），h(1)=0且0-e，因此实数t的取值范畴为考法方略(三)运用函数思想探究不等式问题典例已知函数f(x)ln a(x+）,a的图象在(1，f(）)处的切线与x轴平行（）求(x）的单调区间;（）若存在x0，当x(,0）时,恒有f(x)2（x1)成立,求k的取值范畴解（)由已知可得f(x)的定义域为(，+）f(x）=a,f（1)1-a0,a=，(x)=1，令(x)0，得01，()的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为（1，).(2)由(1）
7、知f(x)=ln xx-1,不等式f()+x+k(x-）可化为ln x-x-(x-1),令g(x) x+x-(x-),则g(x）=-x+1-k.令h(x）=2(1k)x,则h(x)的对称轴为直线x=，当,即时，易知h(x)在（，+)上单调递减,x(1,)时,（x)(1)=1-k,若1,则h(x),g(x)，g(）在(1，x0)上单调递增，（x)(1)=0恒成立，符合题意.当1,即k-1时,易知存在0，使得h（x)在(1，x0）上单调递增,h(x）h()10,g()0，g（x)在(1，0)上单调递增，g(x)（1)0恒成立,符合题意综上,的取值范畴是(，1)题后悟通 函数思想解决不等式问题的方略
8、移项法证明不等式f(x)()(f(x)0(f（x）g(x)，进而构造辅助函数h(x）(x)g(）（如本例)构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相似构造的式子的构造,根据“相似构造”构造辅助函数主元法对于(或可化为）f(x1,x2)A的不等式，可选x(或x2)为主元，构造函数f(x,x2)(或f(x1,x）)应用体验3(全国卷)已知函数f()=aexln x(1）设x=2是()的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，(x)解:（1）f（x)的定义域为（，+)，f（x)e.由题设知，f（2)0,因此a=.从而(x)ex-ln x1，f(x）=e.可知f(x)在(0,)上单调递增,又f()=,因此当02时,f（)0.因此f()的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2，+).(2）证明：当a时,(x）-n .设g(x）=-ln x-1,则g(x)=-.可知g(x)在(，+)上单调递增，且()，因此当0x1时，（x）1时，g(x）.因此x1是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)g()=.因此,当a时,f（)0.
