《点集拓扑4导集,闭集,闭包》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点集拓扑4导集,闭集,闭包（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2.4 号集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念； 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同； 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件; 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件.个点相对于如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一 这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理.定义 2.4.1 设 X 是一个拓扑X.如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即Un (A-x)丰则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d (A).如果xC A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使彳3UP (
2、A-x)=的一个孤立点.即：(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它 所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而 又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑 的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心.某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念， 但绝不要 以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间 都有效.以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的
3、潜在印象.例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集 都是开集，因此如果xX ,则 X有一个邻域x,使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而 A的导集是空集，即 d (A)=例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论:第1种情形：A=任何一个凝聚点，亦即d (A)=.这时A显然没有(可以参见定理2.4.1中第(l)条的证明.) 如 果 xCXxw，点x只有惟一的一个邻域X,这时，所 以;因此x是A的一个凝聚点，即x e d(A).然而对于的惟一邻域X有:
4、所以d (A) =X-A.第3种情形：A包含点多于一个.请读者自己证明这时 X中的每一个点都是 A的凝聚点，即d (A) =X.定理 2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，X.则 (a) pn (w) p = (anv) p (e) (a) pw （乙）证明 (1)由于对于任何一点xCX和点x的任何一个邻域U,有und (B)这证明了 d ( A )(3)根据(2),因为A, BAU B,所以有d (A) , d (B)d (AU B),从而 d (A) U d (B)d (AU B)另一方面，如果综上所述，可见（3）成立.（这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法：要证，只要证(4)设:即（
5、4）成立.定义 2.4.2设 X 是一个拓扑空间X.如果A的每一个凝聚点都属于A,即d (A)A,则称A是拓扑空间X中的一个闭集.例如，根据例2.4.1和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集 都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.定理 2.4.2个拓扑空间X,则A是一个闭集，当且仅当A的补是一个开集.证明必要性：设 A是一一个闭集充分性：设:即A是一个闭集例2.4.3实数空间R中作为闭集的区间.设a, bCR, a0,存在yCA使得p (x, y) e ,换言之即是：对于任意 B (x, ,而这又等价于:对于x的任何一个邻域 U有Un AW应用以上讨论立即得到.
6、定理2.4.9设A是度量空间（X, P）中的一个非空子集.则(1) xCd (A)当且仅当 p (x, A-x ) =0;xC当且仅当P (x, A) =0.以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了 另外的手段.定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X -Y.则以下条件等价：(l ) f是一个连续映射；(2 ) Y 中的任何一个闭集 B 的原象(B)是一个闭集;(3)对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包，即?(4)对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即证明 （1）蕴涵（2） .设B一个闭集.则是一一个开集，因此根据(B)是X中的一个闭集成立.根据（2）,(B)X应用（3）即得（4）蕴涵（l）.设 U是 Y中的一个开集.则是Y中的一个闭集.对此集合应用（4）可见:总结一下，到目前为止，证明映射连续的方法有几种？证明一个子集是开集闭集的方法有几种？如何证明一个点是某个子集的凝聚点？作业:
