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1、高二数学不等式的证明(二)本周学习内容不等式证明中的综合证明方法：1. 换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。2. 放缩法：理论依据：ab,bca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。3. 反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式反证：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。证明格式：(1)当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k时命题成立；则当n=k+1时，证
2、明出命题也成立。由(1)(2)知：原命题都成立。本周教学例题一、换元法：1. 三角换元：例1. 求证：证一：(综合法)即：证二：(换元法)-1x1 令x=cos,0,则-1sin21 例2. 已知x0，y0，2x+y=1，求证：分析：由于条件给出了x0，y0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x0，y0,2x+y=1的条件也可用三角代换。证一：证二：由x0,y0，2x+y=1，可设则例3. 若x2+y21，求证：证：设则例4. 若x1，y1，求证：证：设则例5. 已知：a1,b0，a-b=1，求证：证：a1,b0,a-b=1，不妨设则小结：若0x1，则可
3、令若x2+y2=1，则可令x=cos， y=sin (02)若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan (00，则证：设则即原式成立小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。二、放缩法：例7. 若a,b,c,dR+，求证：证：记a,b,c,dR+1m2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2 logn(n-1)0，logn(n+1)0n2时，logn(n-1)logn(n+1)1例9. 求证：证：三. 反证法例10. 设0a,b,c1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不可能同时大于证：设则三式相乘： 又0a,b,c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,
4、c0证：设a0，bc0，则b+c=-a0ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0同理可证：b0，c0四. 构造法：1. 构造函数法例12. 已知x0，求证：证：构造函数由显然上式0f(x)在上单调递增，左边例13. 求证：证：设用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3t10则有两个实根。例15. 求证：证：设当y=1时，命题显然成立，当y1时， =(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)0综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xyac+bd证一：(分析法)a,b,c,d,x,y都是正数要证：(
5、xy)ac+bd只需证即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，显然成立xyac+bd证二：(综合法)证三：(三角代换法)x2=a2+b2， 不妨设y2=c2+d2 五. 数学归纳法：例17. 求证：设nN，n2，求证：分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。证：当n=2时，左边，易得：左边右边。当n=k时，命题成立，即：成立。当n=k+1时，左边又；且4(k+1)2(2k+3)(2k+1)；于是可得：即当n=k+1时，命题也成立；综上所述，该
6、命题对所有的自然数n2均成立。本周参考练习证明下列不等式：1. 提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用法，分情况讨论。2. 已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10，y0，x+y=1，则提示：左边令t=xy，则在上单调递减 4. 已知|a|1，|b|1，求证：，提示：用三角换元。5. 设x0，y0，求证：abc，则10. 左边11. 求证：高二数学不等式的应用 三. 关于不等式的应用：不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。(求极值的一个基本特
7、点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。2. 会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。四、不等式的应用问题举例：例10. 已知a、b为正数，且a+b=1，求最大值。分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。解：由可得；小结：如果本题采用两式相加而得：；则
8、出现了错误：“=”号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。例11. 求函数的最小值。分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。解：即f(x)最小值为-1此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取的某一个子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。例12. 若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。解：当且仅当：4a2+2=3b2+6，即时取等号，y的最大值为8。小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等
9、等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)例13. 已知x.y0，且xy=1，求的最小值及此时的x、y的值。分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。解：xy0 x-y0又xy=1，也即：；当且仅当时取等号。也即；时，取等号。例14. 设x，y，zR+，x+y+z=1，求证：的最小值。分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。2. 另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。解：x，y，zR+，且x+y+z=1当且仅当时，取“=”号，的
10、最小值为9。小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，zR+，且x+y+z=1得：。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。例15. 已知a0,a2-2ab+c2=0，bca2，试比较 a，b，c的大小。分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab2ac又a0,bc,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bca2可知，bc,ba再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2c2，结合：bc可得：bc0又由ba可得：2ab2a2，综上
11、所述，可得：bca小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。例16. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)所以当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时， =648(m2)答：当
12、矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为()设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；()依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。解：()依题设，An=(500-20)+(5
