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1、高数（下）要点（含微分方 程）一一自己整理的第六章 微分方程、一阶微分方程一阶线性方程dy p(x)y Q(x) x、无力P(x)dxP(x)dx迪解 y e Q(x)e dx Cf(x) 0时称为齐次的，f(x) 0称为非齐次的2、伯努利方程用d x1 n1 dy1 nP(x)y1 n dxP(x)y Q(x)yn (n 0,1)Q(x).令 z y1n.:、可降阶的高阶方程1. . y(n) f(x)n 次积分2. y f(x,y)不显含 y令y p(x)化为一阶方程 p f(x, p)o3. y f(y, y)不显含自变量令y p” 察pdp,化为一阶方程x y三、线性微分方程y(n)a
2、/x)y(n 1) an(x)y an(x)y f(x)1 .二阶线性齐次线性方程y P(x)y Q(x)y 0(1)如果函数yi(x)与y2(x)是方程(1)的两个解，则y Ciyi(x) c2y2(x)也是(1)的解，其中是 任意常数。如果w(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关 的特解，则y C(x) C2y2(x)(C1C2是任意常数)是(1)的通解.两个函数y1 (x)与y2(x)线性无关的充要条件黑C (常数)2 .二阶线性非齐次线性方程设y*(x)是二阶线性非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解，Y(x)是它对应的齐次方程(1)的通解,则y Y(x)
3、y*(x)是该方程的通解.设y*(x)与y2(x)分别是二阶线性非齐次方程y P(x)y Q(x)y fi(x)与 y P(x)y Q(x)y fz(x)的两个特解。则y；(x)y2是y P(x)y Q(x)y fi(x) f?(x)的特解。(叠加原理)3.二阶线性常系数齐次方程y py qy 0特征方程 r2 pr q 0 , 特征根ri , r2特征方程的根r1，r2y py qy。的通解两个不相等的实根ri, 6yCierixC2er2x两个相等的实根ri 2y (Ci C2x)erix一对共轲复根ri,2iy ex(C1cos x C2sin x)4.二阶线性常系数非齐次方程 y py
4、 qy f (x)i)如果 f(x)Pm(x)e则二阶线性常系数非齐次方程具有形如y*xkQm(x)ex 的特解。其中)Pm(x)是m次多项式，Qm(x)也是系数待定的m次多项式；k 0,1,2依照为特征根的重数而取值.i) 如果 f(x) e x P(x)cos x Pn(x)sin x ,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为y* xke x Rm)(x)cos x Rm2)(x)sin x其中Rm1)(x), Rm2)(x)是系数待定的m次多项式,m max l ,nk Q1依照 i特征根的重数取值x2ypxy qy f(x),其四、欧拉方程二阶欧拉方程 中p，q为常数.作变换x et
5、,则有dxdtdx22d y 1 d y dy dx2 x2 dt2 dt原方程变为二阶线性常系数方程d2ydyt才 (p 1)dT qy f(e)。第七章空间解析几何sin,其中是与的夹角;2、向量积满足下列运算律:1）反交换律（）；2）结合律 （）（）（）,其中是数量；3）左分配律 （）右分配律（）3、a2 a3 . ib2b3al a3 .a1a2 1jkbi4bib，i j k al a2 a3 b b2 b314、若ai,a2,a3。,则 广 称为 单位化向量，并有I I 0.此时ala2a2cos ,cos ,cos 其中c0s , cos , cos 是 的方向余弦三、1、旋转面
6、方程yoz平面上的曲线C:；z) 0绕z轴的旋x O转面方程为f( 42 y2 , z) 0；绕y轴的旋转面方程 为f(y, J2) 0 .类似可得其它坐标面上的曲线 绕坐标轴的旋转面方程.2、柱面方程以xoy平面上的曲线C : Z(xOy) 0为准线， 母线平行于z轴的柱面方程为f(x，y) 0.同理方程 g(y,z)。和h(x,z)0分别表示母线平行于 x轴和y 轴的柱面.3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程c：置：0中，经过同解变F2 (x, y, z) 0形分别消去变量x,y,z)则可得到c在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为:F(y,z) 0G(x,z) 0.H(x,
7、y) 0y 0)z 0四、1、平面方程1)点法式：过点P0(x0,y0,Z0)法向量n A,B,C的 平面方程为 A(x %) B(y y) C(z 4) 0)2) 一般式：Ax By Cz D 0,其中A,B,C不全 为零.3)截距式：/工1a b c4)两个平面之间的关系设两个平面口1与口2的法向量依次为 ni Ai,Bi,Ci和 n2 A2,B2,C2 . 口1 与 口2 的夹角 规定 为它们法向量的夹角(取锐角).止匕时|中？中 |AA2 B1B2 CiC，|0| n111n2 |A B12 C12 A2 B22 C222、直线方程1)人般式：将直线表示为两个平面的交线Ax Biy C
8、iz Di 。A2x B2y C2z D2 。2）若直线L经过点Po（xo,yo,z。）且与方向向量v |,m,n。平行）则L的方程为i）对称式:ii）参数式:xIxy zx0x0y。z。V mIt mt ntV。z z。n3）两条直线之间的关系设两条直线Li和L2方向向量分别为Vi li,mi,ni , V2 I2,m2,n2) Li 与 L2 的夹角 规定为它们方向向量的夹角（取锐角）.于是cos1vl ?v21| lil2 m1m2 n1n2 |Vll |V2 I J222. 222minil2m2n23、直线与平面的关系设直线L的方向向量为v l，m,n,平面n的法向量为n ABC.
9、L与的夹角规定为L与它在口上投影直线L的夹角（锐角）.这时sin| v?n |11A mB nC |v| |n|, 12 m2 n2、A B2 C2L与口垂直的充要条件是1 m nABC与n平行的充要条件是1A mBnC 0五、1、椭圆抛物面：22xy22ab其中a0,b 0 （图 3）.例如zy2等.z2、椭圆锥面：2 x2 a其中a0,b 0 （图 4）.例如）圆锥面z2 x22bxx图43、单叶双曲面222左L 2 12. 22a b c图5其中 a 0,b 0, c0 （图 5）.例如 x2 y2 z2 1 .4、双叶双曲面上鼻苒i?vy a b cc其中 a 0,b 0,c 0X7O
10、二（图6） .例如z2 x2 y2 i. 乙三、 （图6）第八章多元函数的微分学一、1.偏导数f*（X0，y。）Hmof（X0 X，y0） f（X0，y0） x 0X，、，、fX（X0, y） f（X, y）X X0对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变 量看作常数，对这个变量求一元函数的导数.2.高阶偏导数二元函数f(x,y)的二阶偏导数2 -2fxx(x, y)fii(x,y)，或 fii ,Zii ； x x x2 fxy(x,y)fi2(x, y)f12 ,42 ；y x x yfxy(x,y)及fyx(x,y)称为二阶混合偏导数3、全微分与一元二兀函数z 在点处的全微分dz dx
11、dy x y三元函数u f(x, y,z)的全微分，并有, u , u , u , du dx dy dz x y z4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系数的情况有所不同.在多元函数中可微;1)可微必可导，可导不一定2)可微必连续，连续不一定可微;3)可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式(链式法则)：a.若 z f(u,v) , u (x) , v (x),则复合函数z f (x), (x)的导数为dz _ z du z dv=-+-；dx u dx v dx )b.若 z f(u,v), u (x,y), v
12、(x,y),则复合函数z f (x，y)，(x，y)的偏导数z_zu z vz_zu zv.x u x vx, y u y vy，6、隐函数的偏导数1）方程F（x,y） 0所确定的隐函数的导数为dy dxFy2）方程F（x,y,z） 0所确定隐函数的偏导数为zFxzFyxFz,yFz .二1、取得极值的必要条件如果函数z f （x, y）在点Pody。）的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则fx（xo,y。）0 ,fy（xo,y。）0 .可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点.2 .取得极值的充分条件设z f（x，y）在驻点（x0,y0）的某个邻域内有二阶的连续偏导数.Afxx(x0
13、,y0),B fxy(x0,yO),C fyy（X0,yo）,B2 AC,于是有1）如果 0 ,则点（沏*）是函数的极值点.当A 0时，f（xo，y。）是极大值，当A 0时，Mx。/。）是极小值.2）如果 0,则点（，y。）不是函数的极值3）如果0,则函数z f（x,y）在点（M,y0）有无极值不能确定，需用其它方法判别.3 .条件极值1 ）求二元函数z f（x,y）在约束条件 （x,y）=0下的极值，可以按照如下步骤进 行：i） 构造拉格朗日函数L(x, y) f(x, y) (x, y)；ii)fx(x, y)x(x,y) 0x-fy(x, y)y(x,y) 0y(x,y) 0若0,x0,y0是方程组的解，则(”,%)是该条件极值问题的可疑极值点.三、多元微分学的几何应用1.空间曲线的切线与法平面x x(t)给定空间曲线L
