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1、主要内容|4.1 Bang-Bang 控制1.1 2线性时不变系统的时间最优控制问题4.3 时间最优控制系统的综合4.4 燃料最优控制问题4.5 时间-燃料最优控制问题4.1Bang-Bang 控制问题4.1(时间最优控制问题)已知系统的状态方程I%(/) =+ BX(ttU(t) (4.1.1)束见x。)，4是对X。)和，连续可微的维向量函数；8XQ), “是对XQ)和，连续可微的维的矩阵函数.要求确定满足下列不等式力(341 , / = l,2,j(4.1.2)约束的加维容许控制向量，使系统(4.1.1)从给定的初态X4) = X。到达满足约束条件- x(o),0=o(4.1.3)(4.1
2、.4)的足一终态*9，其中“是可变的，是对X(/)和/连续川微的, 维向量函数。并使性能指标达到最小值。解：(1)应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数HXQ),2(7),Ua),“ = 1+27 (/)/X(F),7j+ 27 6XQ),U)-(2)规范方程及边界条件分别为- 啜=x(g+W 叩九(f)=-GH dfTX(atdXdX(t)4/)一dX(t)2(，)X4) = X。0X(rz),rz = Ode 耐 1 0 H汉迪didiT=0，N/(3)控制方程为(/),)(/),= min/(/)gQ平+ 2a)8X(/)JU*Q)Tmin (1 + 2r(/)/fX-(z)Jl
3、+ 2r(z)X7f),zC/(z)，片1，2广，仙 I心胴着重分析下式：2r(r)BX*(r)Jt/*(0= min 2r(z)BX*(r)jt/(r) j = l,2,m 心咱(4.1.6) 令mu。)=万 a)ax“ua)mu(=:t 司 xa)(f)幺讨论方便起见，定义机维行向量(r) = 2r(r)BX(r)j其分量幻 Q-X(f)，5 j = 12 ,m其中以XQ), 4是矩阵例XQ), /的第/个列向量，即dxa),”=%X5,%xa),4x(/),“FmMU。) = Ay= q(，)U(。= Z/?J=1于控制函数U（Z）的各个分量君a”）01 旭约束都是彼此独立的，所以 ,行
4、?（，）匕而以交换最小与求和的次豆；(/) = 1 ,若/Q) V。跳变。 数。引是具有第一类间断点的。段裙函J8于是,;la)aXQ)K/*)= min， = 12即 瓦2可转化为如下条件| min i/U(t)= mn ).(，)=1,2,即1，”总回上尢=mip ”（，） = mip %）（，）= 一工|%（，）| ） = 1,2,，7作（中片1中O才 由上式可知，以/）=0，则勺（）有定义。%。） = 0,勺可取满足约束条件41的任何值，勺O 不定。 j定义4.1 若在区间小,力内，存在一时间可裁案w 区P = 1,2,；j = 1,2,m使得对所有的六1，2,，n,有 ,0,当且仅当
5、5,%（鸟=非零，当j则称该时间最优问题良正常的O饶照：在正常的时间最优问题中，函数为只是在有限个孤 立的时刻取零值.相应的最优控制分量勺（）仅在这些时刻发生O也就是最优控制/；（/）是%（。的如定函数；a）不定,若%（，）= 0Q ；) = -sgn%) = -sgn彳(r)Z?X(f)j j = 1,2,m, r 图4-1定义4.2若在区间瓦，3内，至少存在一个区间小切心，力， 使得对所宥的生口，切有(t) = Ar(t)bjX (/),/ = 0, j = 1,2,，切1J_只要有一个函数%2,在某一段（或几段）时 茄区间匕，切e;0,切上取零值，则称该时间最优问题是奇 异的，在区间。，
6、切上，母等于零。此时，由关系式/（，）= 一 sgn%（，）, ，= 12,z无法确定最优控制各分量勺定理4.1 Bang-Bang控制原理（正常的时间最优控制问题） 设U*是问题4.1的时间最优控制，X*和2是相应的状 声和协态。若问题是正常的，则时间最优控制UI）的各个 十量勺（）（六1，2,，。可以按照下列关系确定w/ （0 = -sgn qry （/）=-sgn A7 （t）bjX （0, d） j = 则时间最优控制的各个分量勺.（）都是时间/的分段常值函数， 并在开关时间为上发生勺*由一个恒值到另一个恒值的跳变。 上式还可以写成向量的形式。（，）=-sgn /（，） = -sgn
7、万。同=-sgn 夕XQ）,42Q）钝明：定理4.1表明,一个正常的时间最优控制问题，其最优 控制的每个分量/均在自己的两个边界值之间来问转换， 满足%=0的诸点5恰好是转换点。这是一种继电型控制， 通常称为Bang-Bang控制或开关控制。12Q）之值。2.奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在，也不意 味着时间最优控制无法定义，它仅仅表明，由控制方程不能 推出最优控制U*。）与X*。）、X和，的确切关系.控制向量受限时，非线性系统的时间最优控制问题控制向量受限时，非线性系统的综合最优控制问题4.2线性时不变系统的时间最优控制问题又(r) = AX(r) + bU(r)(4.2.1)问
8、题4.2(时间最优控制问题)已知线性时不变系统的状态方程式中XQ)是维状态向量，UQ)是m维控制向量，A是X维 矩阵，B是xm维常数矩阵。设系统(421)是、T 的。要求确定满足下列不等式 nz(r)| 1 / = 1,2,2(4.2.2)约束的m维容许向量UQ),使系统(4.2.1)从给定的初态X (0) = Xo(4.2.3)出发，最快的转移到代/.。解：(1)写出该问题的哈密顿函数771X(0,2(0,67(/),/ = 1 + 2r(0AY(r) +I（2）规范方程及边界条件分别为:1(/)= -Ar2(t) HX(tYX(t)yU(tYt = (t)AX(t)-BU(t) =1 +
9、X ,(r)Ar2(r) + t/,(r)B,2(0X(O) = Xo、X(r/),z/J = 0+ 更J =o /r (424)dt dt=L y 1 +万(o)4X(o)+纪(o*u(o)邑o= 1 + 4(f)4XQ) + 8U(f)(3)应用最小值原理: U*Q) = ?(7mJ) =-sgnA7(r)7 =-sgnqrQ) = sgn*4(f)式中q(t) = 3B或者U- (/) = -sgn幻(/) = -sgnAr(0Z?J式中与是矩阵8的第洌向量。定理4.2 (存在性定理)X(r) = AXQ) + BUQ)题来说，若矩阵人的特征值均具有负实部，则使 系统文=AX+ BU（r
10、）从任意初态转移到坐标原点的时间最优控制一 定存在。定理4.3 （奇异性定理）当且仅当ni个“ x 维矩阵中G. = /9. ； Ab. ； A2bf ；./ = 1,2,，/ 小少有一个为奇异矩阵时，则时间最优控制问题4.2是奇基迪（证明略） 一 - 一非平凡定理4.4 （正常性定理）当且仅当下列加个 x维矩阵Gz =/?/ Ab/: A%:一% j = l,2,即 均为非奇异矩阵时，则时间最优控制问题4.2是 正常的三，证明略）平凡 kx En18X(t) = AX(t) + BU(t)1 .对于完全可控的线性定常系统(421), 一定满rankG = rankBl AB：= n则 AG,
11、 = rank : Abf: A bi:A, b = n, J = l,2,i 由屁理4.4,完全可控的线性定常系统的时间最优控制问题都是正常的！若将系统(421)表示为X(/) = AX(r)+力必 Q) + 打2。)+ 2Q)A每一个控制勺均能单独使系统X(/) = 4X(f) + “UQ) 由任意的初态在有限的时间内转移到坐标原点：A容易判定所论问题是否属于正常的时间最优控制问题。2 .定理4.3和定理4.4的推证过程和最后结果，均未涉及到目标集X(tf) o因此，不论！ 1，(如何，只要系统是线性时不变的,定理43和定理4.4都是成立的。定理4.5 (唯一性定理)X) = AXQ) +
12、 8UQ)若时间最优问题4. 2线性时不变系统的时间最优控制是存在的,耳其最优控制问题是正常的，则最优控制必是唯一的。(证明略)Uj (?) = -sgn优明：1 .由证明过程可知，时间最优控制的唯一性定理同样适用于 一般目标集的情况。2 .问题(4.2)线性时不变系统的时间最优控制问题是问题(4.1) 非线性时变系统的时间最优控制问题的一种特殊的情况。由 Bang-Bang控制原理可知，问题4.2的最优控制满足Bang-Bang控制原理，也是Bang-Bang控制。20定理4.6 (开关次数定理),设线性时不变系统=的时间最优H控制问题时间最优控制U*存在，且是正常的，若矩阵A的 特征值均为
13、实数，则控制向量的分量以，)的切换次数 月的最大值至多是一1,即每个分段常值最优控制函数 “广最多能切换 一 1次。是系统的阶数)说明：1、具体的切换次数由系统状:件和初始条仔决定；2、若矩阵力具有复数特征值，则切换次数不受此限制。21说明：3、问题4.2的母优控制及其分量分别为t/ (r) = -sgnA/= -sgnBy2(r) 或a4法实现系统的闭环控制。为实现系统的闭环控制，总是希望将最优控制少及其分量勺* 表示成系统状态X的函数，即得到状态反馈的控制规律。要将最优控制U及其分量”分别表示成如下形式的状态反馈:U = -sgn/i(X) 或 w/ =-sgn7?y(X), J = 1,
14、2, 7其中，(x)是状态向量乂的切维向量函数，称为一1| 。(X) = %(X),也(X),m(X)r当 (X)=。 时，称为开关曲面或切换曲面。引入开关函数之后，可以对问题4.2中所给定的系统X(0 = A(r) + BC/(r)线性时不变系统时间最优控制问题小结时间最优控制存在性的判别-存在性定理简单-极小值原理略微复杂但通用性强 时间最优控制正常性的判别一正常性定理 时间最优控制唯一性的判别 切换(开关)次数定理4.3时间最优控制系统的综合在本节中,只讨论邛啕 人和中端/的一阶和二阶时间最优控叫系统的综合问题。为了方便起见，乂不失一般性，以下讨 口中，始终假定控制函数的约束条件为依小初始状态为X(O)=X。目标集为状态空间的原点，即x(o)= o而时间最优控制问题的性能指标
