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1、-本 科 生 毕 业 论 文学 院 数学与计算机科学学院 专 业 数 学 与 应 用 数 学 届 别 2015届 题 目 浅谈中学数学不等式的证明方法 学生 徐 亚 娟 学 号 8 指导教师 吴 万 勤 教 务 处 制民族大学毕业论文(设计)原创性声明本人重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进展研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承当。 毕业论文(设计)作者签名： 日 期： 年 月 日关于毕业论文(设计)使用授权的说明本人完全了解民族大学有关保存、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保存、
2、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或局部容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。论文在解密后应遵守指导教师签名：论文(设计)作者签名：日期： 年 月 日目 录摘 要4引言61、预备知识61.1不等式的概念61.2不等式的性质61.3根本不等式71.4几个重要不等式71.4.1柯西不等式71.4.2伯努利不等式72、证明不等式的常用方法72.1比拟法82.1.1求差法82.1.2求商法82.1.3过度比拟法82.2分析法92.3综合法92.4缩放法102.4.1放缩法的常见技巧102.5反推法102.6数学归纳法112.7反证法112.7.1反证法的根本思路
3、112.7.2反证法的步骤112.8判别式法122.9等式法122.10中值定理法122.11排序法122.12分解法132.13函数极值法133 .利用构造法证明不等式133.1构造函数模型133.1.1构造一次函数模型143.1.2构造二次函数模型143.1.3构造单调函数证明不等式143.2构造复数模型143.3构造方程法154.换元法证明不等式154.1. 三角换元法154.2 均值换元164.3 几何换元法164.4 增量换元法175.利用著名不等式证明175.1利用均值不等式175.2柯西不等式证明法185.3利用契比雪夫不等式185.4利用绝对值不等式185.5利用重要不等式19
4、总结19参考文献：20致21浅谈中学数学不等式的证明方法 徐亚娟 民族大学数学与计算机科学学院摘 要在中学数学中不等式是十分重要的容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式的应用表达了一定的综合性、灵活多样性，对数学各局部知识融会贯穿，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的构造特点、在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精华。不等式的证明问题也是各种思想方法的集中表达，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些根本不等式，灵活运用常用的证明方
5、法。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比拟法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。【1】【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数AbstractIn the mid
6、dle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the prehensive application, certain fle*ibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very goo
7、d role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, fle*ible, and a lot of content bination, so the co
8、ncrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, fle*ibility in the use of monly
9、used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the monly used are: the parative method, for mercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change el
10、ement method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cau
11、chy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further e*plore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking
12、 ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.Keywords:Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function引言众所周知，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系是根本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩根底上，本文对各种方法进展了归纳与总结。证明不等式的方法灵活多
13、样，容丰富、技巧性较强。所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的构造特点、在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是执果索因，后者是由因导果，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，到达欲证的目的。【2】通过不等式的根本知识、根本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各局部知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提
14、高分析问题解决问题的能力。在应用不等式的根本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。1、预备知识1.1不等式的概念用不等号(如 、 、等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用或连接的式子叫严格不等式；用 或 连接的不等式叫做非严格不等式。31.2不等式的性质性质1:如果ab,bc,则ac.(不等式的传递性).性质2：如果*y,则y*;如果yy; 性质3:如果ab,而c为任意实数或整数，则a+cb+c(不等式的可加性). 性质4:如果ab,c0,则acbc;性质5：如果ab,cd,则a+cb+d. 性质6:如果ab0,cd0,则acbd. 性质7:如果ab0,nN,n1,则anbn.性质8：ab0 1/a 0,则(a+b)/2 ,当且仅当a=b时,等号成立.(3)假设a,b,cR,则(a+b+c)/3 ,当且仅当a=b=c时，等号成立。 推广到n个正数*1
