《最新高中数学北师大版选修21课时作业:第2章 习题课2 Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新高中数学北师大版选修21课时作业:第2章 习题课2 Word版含解析(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、最新北师大版数学精品教学资料习题课(2)一、选择题1若A(1,2,3),B(2,5,6)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(2,5,6)C(1,7,3) D(1,7,3)解析:(1,7,3),又与平行的非零向量都可作为l的方向向量,(1,7,3)可作为l的方向向量答案:C2已知(2,2,1),(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()A(,) B(,)C(,) D(,)解析:设平面ABC的法向量为n(x,y,z),则有取x1,则y2,z2.所以n(1,2,2)因为|n|3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是(,)答案:B3已知平面内有一个点A(2,1,2),
2、的一个法向量为n(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是()A(1,1,1) B(1,3,)C(1,3,) D(1,3,)解析:n为的一个法向量,n0,把P点依次代入满足上式即可答案:B4如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点,若B1MN90,则PMN的大小是()A等于90 B小于90C大于90 D不确定解析:A1B1平面BCC1B1,A1B1MN,()0,MPMN,即PMN90.答案:A52014辽宁大连一模长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A BC D解
3、析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2)(1,0,2),(1,2,1),cos,.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案:B6如右图所示 ,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA面ABCD,PAADAC,点F为PC中点,则二面角CBFD的正切值为()A BC D解析:如右图所示,连接BD,ACBDO,连接OF.以O为原点,OB、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1,则BD.所以B,F,C,D.结合图形可知,且为面BOF的一个法向量,由,可求得面BCF的一个法向量n(1,)所以cosn,sin
4、n,所以tann,.答案:D二、填空题7若A(0,2,),B(1,1,),C(2,1,)是平面内的三点,设平面的法向量a(x,y,z),则xyz_.解析:(1,3,),(2,1,),由得解得则xyzyy(y)23(4)答案:23(4)8在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_解析:建立如右图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),(1,0,1),(1,0,1),(1,1,0),设平面A1BD的一个法向量为n(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为,n,n,所以n0,n0,所以解
5、得所以n(1,1,1),则cos,n,所以sin,所以cos.答案:9平面的法向量为(1,0,1),平面的法向量为(0,1,1),则平面与平面所成二面角的大小为_解析:设n1(1,0,1),n2(0,1,1),则cosn1,n2 ,n1,n2.因平面与平面所成的角与n1,n2相等或互补,所以与所成的角为或.答案:或三、解答题10在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是正方形,棱PD垂直于底面ABCD,PDDC,E是PC的中点,EFPB于点F.(1)证明:PA平面EDB;(2)证明:PB平面EFD.证明:如右图所示建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DCa.(1)连接AC,AC交BD于G,连接EG
6、,依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,)因为四边形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故点G的坐标为(,0),所以(,0,),又(a,0,a),所以2,这表明PAEG.而EG平面EDB,且PA平面EDB,所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),(a,a,a),(0,),所以00,所以PBDE.由已知EFPB,且EFDEE,所以PB平面EFD.11在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60,FC平面ABCD,AEBD,CBCDCF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值解:(1)因为四边形ABCD是
7、等腰梯形,ABCD,DAB60,所以ADCBCD120.又CBCD,所以CDB30,因此ADB90,ADBD,又AEBD,且AEADA,AE,AD平面AED.所以BD平面AED.(2)连接AC,由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D(,0),F(0,0,1),因此(,0),(0,1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x,y,z),则m0,m0,所以xyz,取z1,则m(,1,1)由于(0,0,1)是
8、平面BDC的一个法向量,则cosm,所以二面角FBDC的余弦值为.12 2013浙江高考如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ3QC.(1)证明:PQ平面BCD;(2)若二面角CBMD的大小为60,求BDC的大小解:(1)如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0,2),B(0,0),D(0,0)设点C的坐标为(x0,y0,0),因为3,所以Q(x0,y0,)因为M为AD的中点,故M(0,1)又P为BM的中点,故P(0,0,),所以(x0,y0,0)又平面BCD的一个法向量为u(0,0,1),故u0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)设m(x,y,z)为平面BMC的一个法向量由(x0,y0,1),(0,2,1),知取y1,得m(,1,2)又平面BDM的一个法向量为n(1,0,0),于是|cosm,n|,即23.又BCCD,所以0,故(x0,y0,0)(x0,y0,0)0,即xy2.联立,解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是锐角,所以BDC60.