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1、五、概率问题 1、知识点 1 1 1 2A. B. C. D.2、经典例题 抽取问题 1、一个袋子中装有 6 个黑球 3 个白球,这些球除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率为( ) 9 2 3 32、 10 个灯泡中 5 个是好的,5 个是坏的,混合在一起, 1)若随机有放回的抽取 2 个灯泡,这 2 个灯泡都是好的概率为多少?2)若第 1 个和第 2 个灯泡都是好的,再抽第 3 个灯泡仍旧是好的概率为多少? 3)若重新抽取 3 个灯泡,这 3 个全是好的概率为多少? 4)如果一开始采用不放回的抽样,抽中 3 个全是好的概率为多
2、少?2 4 1 2A. B. C. D.3.一个袋子里放有 10 个小球(其中 4 个白球,6 个黑球),无放回地每次抽取 1 个,则第二次取到白球的概率是多少? 15 15 5 54、小孙的口袋里有四颗糖,一颗巧克力味的,一颗果味的,两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖,他看了看后说,其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少? 1 1A 3 B 41 1C 5 D 61 4 1 3 1 2 1 6比赛问题 1现有甲、乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛,规定三局两胜者为胜方。如果在第一次比赛中甲获胜,这时乙最终取胜的可能性有多大? A B C D2.
3、乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是 60%和 40%。在一次比赛中,若甲先连胜了前两局,则甲最后获胜的胜率: A.为 60% B.在 81%85 之间 C.在 86%90%之间 D.在 91%以上 192已知在三次重复独立的化验中,至少有一次出现阳性反应的概率为 ,则在这三次化独立重复 1.某射击运动员每次射击命中 10 环的概率是 80%,5 次射击有 4 次命中 10 环的概率是 A.80% B.63.22% C.40.96% D.32.81% 27验中恰好出现两次阳性反应的概率为 .几何概率 1. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 3 个和 4 个扇形,每个扇形上都
4、标有一个实数。同时自由转动两个转盘,转盘停止后(若指针指在分格线上,则重转),两个指针都落在无理数上的概率是( ) 385o227(102)sin 603.14A.121B.(第 5 题) 3C.16D.1122、 如下图所示,圆盘(1)被等分成六个扇形;圆盘(2)被分成四个扇形,其圆心角度数的比为 1234。转动圆盘,等停下时,在圆盘 1 中,指针指向每个区域的概率各是多大?在圆盘 2 中,怎样求指针指向每个区域的概率呢?3、甲乙两人相约见面,并约定第一人到达后,等 15 分钟不见第二个人,就可以离去,假设他们都在 10:0010:30 的任意时间来到见面地点,则两个人见面几率有多大( )
5、A 37.5% B 50% C 62.5% D 75% 3、随堂练习 1.一个袋中里有 4 个珠子,其中 2 个红色,2 个蓝色,除颜色外其余特征均相同,若从这个袋中任取 2 个珠子,都是蓝色珠子的概率是( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 3 4 6 2.张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券,他们各自设计了一个方案: 张红的方案是:转动如图所示的转盘,如果指针停在阴影区域,则张红得到入场券;如果指针停在白色区域,则王伟得到入场券(转盘被等分成 6 个扇形.若指针停在边界处,则重新转动转盘)。 右图 王伟的方案是:从一副扑克牌中取出方块 1、2、3,将它们背面朝上重新洗
6、牌后,从中摸出一张,记录下牌面数字后放回,洗匀后再摸出一张。若摸出两张牌面数字之和为奇数,则张红得到入场劵;若摸出两张牌面数字之和为偶数,则王伟得到入场券。 问:下列说法正确的是: A.张红和王伟的方案都公平 B.张红的方案公平,王伟的方案不公平 C.张红和王伟的方案都不公平 D.张红的方案不公平,王伟的方案公平 43.在元旦游园晚会上有一个闯关活动:将 5 张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放,将有图形的一面朝下,从中任意翻开一张,如果翻开的图形是轴对称图形,就可以过关.那么一次过关的概率是( ) A. B. C. D.5 5 5 54.一个口袋共有 2 个红球
7、和 8 个黄球,从中随机连取三个球(有放回),则恰有一个红球概率是多少? 55 人参加应聘,已知甲在乙之前接受面试(甲乙顺序相邻),但不是第一个,那么甲第三个接受面试的概率是()1 D. 36.一个袋子里有 5 个球,其中有 2 个红球。从袋子里拿 2 个球,拿到红球的概率有多大? A.50% B.60% C.70% D.80% 7桌子上有光盘 15 张,其中音乐光盘 6 张、电影光盘 6 张、游戏光盘 3 张,从中任取 3张,其中恰好有音乐、电影、游戏光盘各 1 张的概率是( )。 A491 B1108 C108455 D414455 8.设 10 个产品中有 3 个是次品,今从中任取 3
8、个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 六、容斥问题 加法原理中,计算完成一件事的方法,要求 Si Sj 若取消两两不相交的限制,该如何计算? (ij), 在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为包含排除原理,也叫容斥原理。 例题 1:在 1 到 1000 的自然数中,能被 3 或 5 整除的数共有多少个? 显然,这是一个重复计数问题。不能仅仅将被 3 整除的数和被 5 整除的数简单相加,这里
9、就会有重复。我们可以把“能被 3 或 5 整除的数”分别看成 A 类元素和 B 类元素,能“同时被3 或 5 整除的数(15 的倍数)”就是被重复计算的数,即“既是 A 类又是 B 类的元素”。求的是“A 类或 B 类元素个数”。10003=3331,能被 3 整除的数有 333 个,10005=200,能被 5 整除的数有 200 个,100015=66.2,既能整除 3 又能整除 5 的数有 66 个,所以所求数为 333+200-66=467 1、一次期末考试,某班有 15 人数学得满分,有 12 人语文得满分,并且有 4 人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 2
10、、六班同学订占全班人数的五分之四,订占全班人数的四分之一,两种报纸中仅订一份的占全班人数的五分之二。求两种报纸都订的学生人数占全班的几分之几? 3、某校参加数学竞赛的有 120 名男生、80 名女生,参加语文竞赛的有 120 名女生、80 名男生,该校总共有 260 名学生参加竞赛,其中 75 名男生两科都参加了,那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人? 4、某校有三个课外活动小组共若干人。只参加语文组的2 人,只参加数学组的3 人,只参加外语组的有1 人;同时参加语、数小组的7 人,同时参加数、外小组的8 人,同时参加语、外小组的9 人;同时参加三个小组的若干人。现在已知从以上同
11、学中任意抽选10 人至少有2 人是外语小组的,那么三个小组都参加者(1)最多是几个人?(2)至少应是几个人? 5、分母是 1001 的最简真分数有 个. A. 760 B. 360 C. 720 D. 180 6、某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检,其中有 8 种产品的低温柔度不合格,10种产品的可溶物含量不达标,9 种产品的接缝剪切性能不合格,同时两项不合格的有 7 种,有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种? A.34 B.35 C.36 D.37 7、在一根长木棍上,有三种刻度线,它们分别将木棍分成 10 等分、12 等分、15 等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段? 8、建华中学共有 1600 名学生,其中喜欢乒乓球的有 1180 人,喜欢羽毛球的有 1360 人,喜欢篮球的有 1250 人,喜欢足球的有 1040 人,问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人? A20 人 B30 人 C40 人 D50 人 随堂练习 1.某班 30 人,数学 22 人优秀,语文 25 人优秀,英语 20 人优秀,这三科全部优秀的学生至少多少人? 2公务员成绩出来后,20 名同学进行了一