《七年级数学下册培优新帮手专题19最值问题试题新版新人教版5519》由会员分享,可在线阅读,更多相关《七年级数学下册培优新帮手专题19最值问题试题新版新人教版5519(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、19 最值问题阅读与思考在实际生活与生产中,人们总想节省时间或费用,而取得最好的效果或最高效益,反映在数学问题上,就是 求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值,这类问题被称之为最值问题,在现阶段,解这类问题的相关知识与基本方法有:1、 通过枚举选取 .2、 利用完全平方式性质 .3、 运用不等式(组)逼近求解 .4、 借用几何中的不等量性质、定理等 .解答这类问题应当包括两个方面,一方面要说明不可 能比某个值更大(或更小) ,另一方面要举例说明可以达到这个值,前者需要详细说明,后者需要构造一个合适的例子 .例题与求解【例 1】 若 c 为正整数,且 a b c,b c d ,d a b,则(
2、 a b )(b c )(c d )( d a)的最小值是 .(北 京市 竞赛试题)解题思路 :条件中关于 C的信息量最多,应突出 C的作用,把 a,b,d 及待求式用 c 的代数式表示 .【例 2】 已知实数 a,b 满足2 2 1a b ,则4 4a ab b 的最小值是( )A.18B.0 C.1 D.98( 全国初中数学竞赛试题)解题思路 :对4 4a ab b 进行变形,利用完全平方公式的性质进行解题 .【例 3】 如果正整数x1, x2, x3 ,x4, x5 满足 x1 x2 x3 x4 x5 = x1x2 x3 x4 x5 ,求 x5 的最大值 .解 题 思 路 : 不 妨 设
3、x x x x x , 由 题 中 条 件 可 知1 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4=1. 结合题意进行分析 .【例 4】 已知 x, y,z 都为非负数,满足 x y z 1, x 2y 3z 4 ,记 w 3x 2y z ,求 w 的最大值与最小值 .(四川省竞赛试题)解题思路 :解题的关键是用含一个字母的代数式表示 w .【例 5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为 10 00 米的公路边栽立,要求沿公路的一边向前每隔 1
4、00 米栽立电线杆一根,已知工程车每次之多只能运送电线杆 4 根,要求完成2运送 18 根的任务, 并返回仓库, 若工程车每行驶 1 千米耗油 m升(在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关,其他因素不计) . 每升汽油 n 元,求完成此项任务最低的耗油费用 .(湖北省竞赛试题)解题思路 :要使耗油费用最低,应当使运送次数尽可能少,最少需运送 5 次,而 5 次又有不同运送方法,求出每种运送方法的行驶路程,比较得出最低的耗油费用 .【例 6】 直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12,斜边长为 13,P 是三角形内或边界上的一点,P 到三边的距离分别为d ,d2 ,d3 ,求 d1 + d
5、2 + d3 的最大值和最小值,并求当 d1+ d2 +d31取最大值和最小值时, P 点的位置 .(“创新杯” 邀请赛试题)解题思路 :连接 P 点与三角形各顶点,利用三角形的面积公式来解 .3能力训练A 级1. 社 a,b,c 满足2 2 2 9a b c ,那么代数式2 2 2(a b) (b c) (c a) 的最大值是 .(全国初中数学联赛试题)2. 在满足 x 2y 3,x 0, y 0 的条件下, 2x y 能达到的最大值是 .(“希望杯” 邀请赛试题)3. 已知锐角三角形 ABC的三个 内角 A,B,C满足 ABC.用 表示 A-B,B-C,以及 90-A 中的最小值,则 的最
6、大值是 .(全国初中数学联赛试题)4. 已知有理数 a,b,c 满足 abc,且 a+b+c=0,. 那 么ca的取值范围是 .( 数学夏令营竞赛试题)5. 在式子 x 1 x 2 x 3 x 4 中,代入不同的 x 值,得到对应的值,在这些对应的值中,最小的值是( ).A.1 B.2 C.3 D.46. 若 a,b,c,d 是整数, b 是正整数,且满足 b c d ,d c a ,b a c,那么 a b c d的最大值是( ).A.-1 B.-5 C.0 D.14( 全国初中数学联赛试题 )7. 已知 x y a, z y 10,则代数式2 2 2x y z xy yz xz 的最小 值
7、是( ).A.75 B.80 C.100 D.105( 江苏省竞赛试题 )8. 已知 x , y , z均为非负数,且满足 x y z=30, 3x y z 50 ,又设 M 5x 4y 2Z ,则 M的最小值与最大值分别为( ).A.110 ,120 B.120 ,130 C.130 ,140 D.140 ,1509. 已知非负实数 x , y , z 满足x 1 2 y z 32 3 4,记 w 3x 4y 5z . 求 w 的最大值和最小值(“希望杯” 邀请赛试题)10. 某童装厂现有甲种布料 38 米,乙钟布料 26 米,现计划用这两种布料生产 L,M两种型号的童装共 50 套,已知做
8、一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米,乙种布料 1 米,可获利 45 元;做一套 M型号的童装需用甲种布料 0.9 米,乙种布料 0.2 米,可获利 30 元,试问该厂生 产的这批童装,当 L型号的童装为多少套是,能使该厂获得利润最大?最大利润为多少?(江西省无锡市中考试题)5专题 19 最值问题例 1 24 提示: a c,b 2c, d 3c ,原式324c 例 2 B 提示:24 4 2 2 2 2 2 2 1 9a ab b a b 2a b ab 1 2a b ab 2 ab 4 8因为2 22 ab a b 1,所以1 1ab ,从而2 23 1 1ab ,故4 4 40
9、ab21 94 16因此0 221 9 9ab ,即 4 8 804 4 9a ab b 8例 3 设x x x x x ,则1 2 3 4 511 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x x4 5=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 4 5 4 5 4 5 5 4 4 5于 是 得到x4 x5 x4 x5 3 即x x 4 1 5 1 4若x4 1,则 x1 x2 x3 x4 1,与题设等式为4 x x 矛盾; 若 x4 1,则
10、5 5x5 1 4 ,即 x5 5 ,当x5 5 时,容易找到满足条件的数组 (1 ,1,1,2,5) ,所以x 的最大值是 55例 4 由x y z 1x 2y 3z 4,得x 5z 2y 3 4z,由x 5z 2 0y 3 4z 0得2 3z ,则5 43x 2y z 3 5z 2 2 3 4z z 8z ,当2z 时, 有最小值5165;当3z 时, 有最4大值 6例 5 提示:显然运送次数越少,所行驶的路程越短,所需邮费越少,因此, 18 根电线杆运送 5 次行驶路程较短,这 5 次有两种运送方法: (1)四次个 4 根,一次 2 根;(2)三次各 4 根,二次各 3根(1)考虑先送
11、2 根,后送 4 根;先送 4 根,后送 2 根先送 2 根,再送 4 根,二次共走行驶:1000 100 2 1100 400 2 5200米;先送 4 根,再送 2 根,二次共行驶:61000 300 2 1300 200 2 5600米;(2)两次各送 3 根时,所行路程为1000 200 2 1200 300 2 5400米.故先送 2 根所行驶路程最短,最短总行程为:1000 100 2 1100 400 2 1500 400 21900 400 2 2300 400 19000米故所用最少油费为 19000mn 1000 19mn元例 6 如图所示,在 ABC中, C=90 ,BC
12、=5,AB=13. 点 P到 BC,C A,AB的距离分别为d1 , d2 , d3,连接 PA,PB,PC,由三角形的面积公式知:1 1 1 15d 12d 13d 5 12.1 2 32 2 2 2即5d 12d 13d 60 .1 2 3显然有5 d d d 5d 12d 13d 13 d d d .1 2 3 1 2 3 1 2 360d d d 12. 故 1 2 313当 d2 d3 0 时,有d1 d2 d3 12,即 d1 d2 d3 取最大值时, P与 A重合;当 d1 d2 0时,有60d d d ,即 d1 d2 d3 取最小值时, P与 C重合.1 2 313A 级72
13、2 2 21.27 原式 =3 a b c a b c 272.6 3 90 A 2 A B B C3 23.15 提示:6 6270 A B C 906 6154.2ca12c提示: b a c, a c b , 2a c, 2,又把 b a c 代入ab c中,得 a c c ,ca12. 故2ca12.5.D 6.B 7.A 8.B9. 设x 1 2 y z 32 3 4k ,则 x 2k 1, y 3k 2, z 4k 3 . x, y, z均为非负实数 . 2k 1 03k 2 0 ,解得:4k+3 01 2k .2 3故 3x 4y 5z 3 2k 1 4 3k 2 5 4k 3 14k 26.1 2 14 26 14k 26 14 26,即2 31319 35,所以 的最小值是 19,最大值是3513.10.20 套. 1800 元. 提示:设生产 L 型号的童装套数为 x ,则生产 M型号的童装为 50 x 套,所得利润 S 45x 30 50 x 15x 1500.0.5 x 0.9 50 x 38 由x 0.2 50 x 26得17.5 x 20, x 18, 19, 20 .11. 最小表面积的打包方式为 2 3. 最小表面积为 179522mm ,图略 .8B 级1.27 当 b 2, a 25 时, a b的值最大 .2.102 提示: m n