《七年级数学下册培优新帮手专题19最值问题试题新版新人教版5519》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册培优新帮手专题19最值问题试题新版新人教版5519（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、19 最值问题阅读与思考在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是 求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：1、 通过枚举选取 .2、 利用完全平方式性质 .3、 运用不等式（组）逼近求解 .4、 借用几何中的不等量性质、定理等 .解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可 能比某个值更大（或更小） ，另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子 .例题与求解【例 1】 若 c 为正整数，且 a b c，b c d ，d a b，则（
2、 a b ）（b c ）（c d ）（ d a）的最小值是 .（北 京市 竞赛试题）解题思路 ：条件中关于 C的信息量最多，应突出 C的作用，把 a，b，d 及待求式用 c 的代数式表示 .【例 2】 已知实数 a，b 满足2 2 1a b ，则4 4a ab b 的最小值是（ ）A.18B.0 C.1 D.98( 全国初中数学竞赛试题)解题思路 ：对4 4a ab b 进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题 .【例 3】 如果正整数x1, x2, x3 ,x4, x5 满足 x1 x2 x3 x4 x5 = x1x2 x3 x4 x5 ，求 x5 的最大值 .解 题 思 路 ： 不 妨 设
3、x x x x x ， 由 题 中 条 件 可 知1 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4=1. 结合题意进行分析 .【例 4】 已知 x, y,z 都为非负数，满足 x y z 1， x 2y 3z 4 ，记 w 3x 2y z ，求 w 的最大值与最小值 .（四川省竞赛试题）解题思路 ：解题的关键是用含一个字母的代数式表示 w .【例 5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为 10 00 米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔 1
4、00 米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆 4 根，要求完成2运送 18 根的任务， 并返回仓库， 若工程车每行驶 1 千米耗油 m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计） . 每升汽油 n 元，求完成此项任务最低的耗油费用 .（湖北省竞赛试题）解题思路 ：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送 5 次，而 5 次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用 .【例 6】 直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，斜边长为 13，P 是三角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为d ，d2 ，d3 ，求 d1 + d
5、2 + d3 的最大值和最小值，并求当 d1+ d2 +d31取最大值和最小值时， P 点的位置 .（“创新杯” 邀请赛试题）解题思路 ：连接 P 点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解 .3能力训练A 级1. 社 a，b，c 满足2 2 2 9a b c ，那么代数式2 2 2(a b) (b c) (c a) 的最大值是 .（全国初中数学联赛试题）2. 在满足 x 2y 3,x 0, y 0 的条件下， 2x y 能达到的最大值是 .（“希望杯” 邀请赛试题）3. 已知锐角三角形 ABC的三个 内角 A，B，C满足 ABC.用 表示 A-B，B-C，以及 90-A 中的最小值，则 的最
6、大值是 .（全国初中数学联赛试题）4. 已知有理数 a，b，c 满足 abc，且 a+b+c=0，. 那 么ca的取值范围是 .（ 数学夏令营竞赛试题）5. 在式子 x 1 x 2 x 3 x 4 中，代入不同的 x 值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（ ）.A.1 B.2 C.3 D.46. 若 a，b，c，d 是整数， b 是正整数，且满足 b c d ，d c a ，b a c，那么 a b c d的最大值是（ ）.A.-1 B.-5 C.0 D.14( 全国初中数学联赛试题 )7. 已知 x y a, z y 10,则代数式2 2 2x y z xy yz xz 的最小 值
7、是（ ）.A.75 B.80 C.100 D.105( 江苏省竞赛试题 )8. 已知 x ， y ， z均为非负数，且满足 x y z=30， 3x y z 50 ，又设 M 5x 4y 2Z ，则 M的最小值与最大值分别为（ ）.A.110 ，120 B.120 ，130 C.130 ，140 D.140 ，1509. 已知非负实数 x ， y ， z 满足x 1 2 y z 32 3 4，记 w 3x 4y 5z . 求 w 的最大值和最小值（“希望杯” 邀请赛试题）10. 某童装厂现有甲种布料 38 米，乙钟布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L，M两种型号的童装共 50 套，已知做
8、一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米，可获利 45 元；做一套 M型号的童装需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利 30 元，试问该厂生 产的这批童装，当 L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）5专题 19 最值问题例 1 24 提示： a c,b 2c, d 3c ，原式324c 例 2 B 提示：24 4 2 2 2 2 2 2 1 9a ab b a b 2a b ab 1 2a b ab 2 ab 4 8因为2 22 ab a b 1，所以1 1ab ，从而2 23 1 1ab ，故4 4 40
9、ab21 94 16因此0 221 9 9ab ，即 4 8 804 4 9a ab b 8例 3 设x x x x x ，则1 2 3 4 511 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x x4 5=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 4 5 4 5 4 5 5 4 4 5于 是 得到x4 x5 x4 x5 3 即x x 4 1 5 1 4若x4 1，则 x1 x2 x3 x4 1，与题设等式为4 x x 矛盾； 若 x4 1，则
10、5 5x5 1 4 ，即 x5 5 ，当x5 5 时，容易找到满足条件的数组 (1 ，1，1，2，5) ，所以x 的最大值是 55例 4 由x y z 1x 2y 3z 4，得x 5z 2y 3 4z，由x 5z 2 0y 3 4z 0得2 3z ，则5 43x 2y z 3 5z 2 2 3 4z z 8z ，当2z 时， 有最小值5165；当3z 时， 有最4大值 6例 5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此， 18 根电线杆运送 5 次行驶路程较短，这 5 次有两种运送方法： （1）四次个 4 根，一次 2 根；（2）三次各 4 根，二次各 3根（1）考虑先送
11、2 根，后送 4 根；先送 4 根，后送 2 根先送 2 根，再送 4 根，二次共走行驶：1000 100 2 1100 400 2 5200米；先送 4 根，再送 2 根，二次共行驶：61000 300 2 1300 200 2 5600米；（2）两次各送 3 根时，所行路程为1000 200 2 1200 300 2 5400米.故先送 2 根所行驶路程最短，最短总行程为：1000 100 2 1100 400 2 1500 400 21900 400 2 2300 400 19000米故所用最少油费为 19000mn 1000 19mn元例 6 如图所示，在 ABC中， C=90 ，BC
12、=5，AB=13. 点 P到 BC，C A，AB的距离分别为d1 , d2 , d3，连接 PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：1 1 1 15d 12d 13d 5 12.1 2 32 2 2 2即5d 12d 13d 60 .1 2 3显然有5 d d d 5d 12d 13d 13 d d d .1 2 3 1 2 3 1 2 360d d d 12. 故 1 2 313当 d2 d3 0 时，有d1 d2 d3 12，即 d1 d2 d3 取最大值时， P与 A重合；当 d1 d2 0时，有60d d d ，即 d1 d2 d3 取最小值时， P与 C重合.1 2 313A 级72
13、2 2 21.27 原式 =3 a b c a b c 272.6 3 90 A 2 A B B C3 23.15 提示：6 6270 A B C 906 6154.2ca12c提示： b a c, a c b ， 2a c, 2，又把 b a c 代入ab c中，得 a c c ，ca12. 故2ca12.5.D 6.B 7.A 8.B9. 设x 1 2 y z 32 3 4k ，则 x 2k 1, y 3k 2, z 4k 3 . x, y, z均为非负实数 . 2k 1 03k 2 0 ，解得：4k+3 01 2k .2 3故 3x 4y 5z 3 2k 1 4 3k 2 5 4k 3 14k 26.1 2 14 26 14k 26 14 26，即2 31319 35，所以 的最小值是 19，最大值是3513.10.20 套. 1800 元. 提示：设生产 L 型号的童装套数为 x ，则生产 M型号的童装为 50 x 套，所得利润 S 45x 30 50 x 15x 1500.0.5 x 0.9 50 x 38 由x 0.2 50 x 26得17.5 x 20， x 18, 19, 20 .11. 最小表面积的打包方式为 2 3. 最小表面积为 179522mm ，图略 .8B 级1.27 当 b 2, a 25 时， a b的值最大 .2.102 提示： m n
