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1、第十节位移分量与应变分量几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位 移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物 体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为 变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。根据连续性假设，弹性体在变形前和
2、变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M （ x,y, z）移动至M （x，y，z），这一过程也将是连续的,如图11.1所示图 10.1在数学上，x，y，z必为x，y， z的单值连续函数。设MM= S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则u=x （x，y，z）-x=u （x，y， z）v=y （x，y，z）-y=v （x，y，z）w=z （x，y，z）-z=w （x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续 导数。为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂
3、直。对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为 MA，MB，MC。假设分别用x. y. z表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变；分别用xy . yz . zx表示X和y，y和Z，Z和X轴之间的夹角变化，即切应变。贝VQ一MCMC匕MA ?rMB 花MC?#Oxy, Oyz, Ozx平面来讨论。对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到#显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行
4、的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变 形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身 的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形 有明显的变化。首先讨论Oxy面上投影的变形。设ma，mb分别为MA，MB的投影，ma，mb分别为MA，MB，即变形后的 MA，MB的投影。微分单元体的棱边长为dx，dy，dz，M点的坐标为（x，y，z）， u（x，y，z），v（x, y, z）分别表示 M点x，y方向的位移分量。则 A 点的位移为 u（x+dx，y，z），v（x+dx，y，z）, B 点的位移为
5、u（x，y+ dy，z） ，v（x，y+dy，z）。 按泰勒级数将 A，B两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为#du .和3ti、Bv .u + dx, v +dxTUw + dy. v + dyoxaxcfydy因为MrAr 讥二 dx+u + dx-u = 上述公式称为几何方程，又称柯西方程。卽du 0W儿二+& dx#柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。这个问题以后作专门讨论。几何方程给出的应变通常称为工程应变。如果使用张量符号，则几何方
6、程可以表达为则应变分量将满足二阶张量的座标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为1 1 1 2 21 1务引耳2亏 21 1勺1引匚22%S第一节纯变形位移与刚性转动位移学习思路：应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹 角的改变做出定义。但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。 刚体转动通过转动分量描述。刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分 组成，平动位移和转动位移。如果
7、发生变形，位移中还包括纯变形位移。应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定 义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有 考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。 设P点无限邻近0点，P点及其附近区域绕 0作刚性转动，转过微小角度。设转动矢量为 3, 0P之间的距离矢量为，如图12.1所示图 11.1引入拉普拉斯算符矢量设p点的位移矢量为s,有S = ui +vj +wk由于位移矢量可以表示为S = 3X，所以_3
8、”37xlS = Vx(xj) = (V p)ta 一(側)/ = 3柚一(少詬一+ +刃+dx ydz= 3tf/-（少丿 + 3阴=2w其中1贴=2(VJdV-x, - y, - z为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。设M点的坐标为(x，y, z),位移(u, v, w)。与 M点邻近的N点，坐标为(x+dx, y+dy, z+dz), 位移为(u+du,v+dv, w+dw )。则MN两点的相对位移为(du, dv, dw)。因为位移为坐标的函数，所以#漁、*1 du、L1 ,du 加、+ )dz -(-Joy -(-)azoe2 dx qy1 oz oxdu
9、1 .dv du. ,1=ax +(+一)dy + dx2 dx2二g + ”小+ ”少-S +哄同理可得d卩二訥气打七-码占+吆dxdw二爲占+扌儿1氓+ &如-叭去+血如以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚 体一样转动的刚性转动位移。刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则无限邻近这一点的位移,根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中 某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。总的来讲，与 M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：1 .随同M点作平动位移。
10、2 .绕M点作刚性转动在 N点产生的位移。3 .由于M点及其邻近区域的变形在 N点引起的位移。转动分量，X, -.y， z对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变 形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了 方位的变化。位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得0-込0#部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分显然，位移的增量是由两部分组成的, 量引起的变形位移增量。第十二节应变的坐标变换与应变张量上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。与坐标转轴时的应力分量的变换一样，我们将建立应变
11、分量转轴的变换公式，即已知；j在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量 /j。根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐 标系Oxyz是旧坐标系 Oxyz经过转动得到的，如图13.1所示#图 12.1新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为#如图所示，设变形前的M点，变形后移至 M点，设其位移矢量 MM = S,则+ v +=wFf+vw W所以，新坐标系的位移分量为,冰（工；尤刃）二 S F 二 + VffJj +，F，N)二圧 7二皿2 十叫 + wn2yfr(xyzr) = Skr= td2 + vm + w 叫根据几何方程，根据复合函数的微分关系
12、du*dur Shedur 抄8u* dz/r 333 .,二 +- = (L +曲1 + 怙 一加dx dxf dxrdz dxr dxdy&3 d + 轴 一 + 8x &十冋打+曲】坷打r呎打#同理推导可得其余五个应变分量的变换公式，即心=也+硏弓卄七+ A丹+叫亿5% 弓二號+% +鬼4沁打“2& + 4几务二E巧*曲听+电爲+5疗犁+叫缶7 畑儿T =2M辺+2%用灼+2%旳爲+（晁+匚幽）打+（%角+（aJ畑 二2站冠+2%爲*2%屯 山眄+ （蚀闪4馮）&卡阳3卄站）沧二爲耳码+2旳怕灼+ 2并艮+ （A、+ AJg +（眄角+附冋”胆*（榔i如果以nj（ i，j=1，2，3）表示新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述 应变分量变换公式可以写作则应变分量满足张量变换关系。与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。#由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一点 的应变状态就完全确定了。不难理解，坐标变换后各应变分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描 述的一点的应变状态是不会改变的。第十三节体积应变本节介绍物体变形后的单位体积变化，即体积应变。 讨论微分平行六面体单元，如图14.1所示
