《完整版高等数学期末复习之常微分方程部分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等数学期末复习之常微分方程部分（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第11章常微分方程习题课一.内容提要1.基本概念含有一元未知函数y(x)(即待求函数)的导数或微分的方程，称 为常微分方程;其中出现的y(x)的最高阶导数的阶数称为此微分方 程的阶;使微分方程在区间I上成为恒等式的函数y (x)称为此 微分方程在I上的解;显然一个微分方程若有解，则必有无穷多解； 若n阶微分方程的解中含有n个不可合并的任意常数，则称其为此 微分方程的通解；利用n个独立的附加条件(称为定解条件)定出了 所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起，合称为 一个定解问题；当定解条件是初始条件(给出y,y , y(n 在同一点X。处的值)时,称为初值问题.2. 阶微分方程y
2、f(x, y)的解法(1) 对于可分离变量方程 学 (x) (y),dx先分离变量(当 (y) 0时)得 冬 (x)dx,呱y)再两边积分即得通解dy(y)(x)dx C .#(2) 对于齐次方程f f作变量代换u即y xu ,可将其化为可分离变量的方程，分x离变量后，积分得du -f (u) udx C,再以/代替u便得到齐次方xx形如dxf（ax 丁 c）的方程,aix bi y ci7程的通解.若c, G均为零，则是齐次方程;若C,G不全为零，则不是齐次方程，但当旦b k时，只要作变换v aibi变量的方程业bif(险c) ai；dxv c1aix biy ,即可化为可分离Xx x当ag
3、时，只要作平移变换,即ai biY y y(其中(xo,yo)是线性方程组 yax by c 0aixbiyCi0的惟解)，便可化为齐次方程dY f ( aX bY ) dX(aiX biY)(4)全微分方程若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0之左端是某个二元函数 u u(x, y)的全微分，则称其为全微分方程，显然u(x, y) C即为通 解，而原函数u(x, y)可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件 上 来判定P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是否 y x为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ,可乘上一个函数
4、(,x, y)使之成为全微分方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0(注意到当(x,y)0时P(x,y)dx Q(x, y)dy 0与原方程同解),并称(,x,y)为积分因子；一般说来，求积分因子比较困难，但有时可 通过观察得到.一阶线性微分方程y p(x) y Q(x)的通解公式当Q(x)不恒为零时，称其为一阶线性非齐次微分方程；当Q(x) 恒为零,时，即y p(x) y 0称为一阶线性齐次微分方程，这是一个 可分离变量的方程，易知其通解为Y Ce卩)；由此用“常数变易 法”即可得到非齐次微分方程的通解P(x)dxp(x)dxy e (C Q(x)e dx).对于Bernoulli方程
5、y p(x)y Q(x)yn (n 0,1),只需作变换z y1n,即可化为一阶线性方程乎(1 n) p(x)z (1 n)Q(x).dx3高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解：(1) 对于方程yf (x)，令z y(n 化为zf (x);在实际求解中,只要对方程连续积分n次，即得其通解n 1y dx f (x)dx GxCn 1x Cn.n次(2) 对于yf (x,y )(不显含y),作变换P y ,则yP，于是化一阶方程Pf(x,P);显然对y(n) f(x, y(n1)可作类似处理.(3) 对于yf(y,y)(不显含x),作变换P y ,则yPdP ,于是dy可
6、化为一阶方程P字 f(y,P).dy4线性微分方程解的结构(1) 线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说，解的线性组合仍然是解.(2) 线性齐次微分方程解的结构若小2, ,yn是n阶线性齐次微分方程的线性无关的解，则其 通解为Y cy cyCnyn.(3) 线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y与其自身的一个特解y之和，即y Y y.(4) 线性非齐次微分方程的叠加原理1设yk (k 1,2, m)是方程(n)Pi(x)y(n 1)Pn i(x)yPn(x)y fk(x)m的解，则yk是方程k 1my(n) P1(X)y(n1)Pn1(x
7、)yPn(x)y fk(x)k 1的解2若实变量的复值函数u(x) iv(x)是方程y(n) P1(x)y(n1)Pn 1(x)yPn(x)yfx) if2(x)的解,则此解的实部u(x)是方程y(n)P1(x)y(n1)Pn1(x)yPn(x)yf,x)的解;虚部v(x)是方程y(n)Pi(x)y(n1)Pni(x)yPn(x)yf2(x)的解(5) 线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系 线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解5常系数线性微分方程的解法(1) 求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1写出y(n) Piy(n1) Pn iy Pny 0的特征方程nn 1rP
8、1rpn 订 pn 0，并求特征根；2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见F表)特征根r为给出通解中的单实根1 项:Cerxk重实根k 项:erx(C1 C2XCkXk1)一对单复根2 项:e x(C1 cos x C2sin x)Ai一对k重复根2k项:e x(C1 C2xCkxk 1)cos x%ik 1(D1 D2xDkx)sin x(2) 下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的 特解1对于f(x) Pm(x)ex,应设特解kxkmm 1x xy x Qm(x)ex (axam 1X am)e ,其中k等于 为特征根的重数(0 k n),a,a1,L ,
9、am是待定系数.将y代入原方程，可定出ao, a1,L ,am,从而求得y2 对于 f(x) exR(x)cos x Rs in x (0),应设特解k xy x e Rm (x) cos x Tm(x)sin x,其中k等于i为特征根的重数(0 k 2), Rm(x),Tm(x)是待定的m max l,s次多项式.将y代原方程，即可定出 Rm(x),Tm(x),从而求得 y .或因为 f (x) e xR(x)cos x R(x)sin xRe e x(R(x) iR(x)(cos x isin x)Re Qm(x)e( 1 )x(其中Qm(x)P(x) iPs(x)是m maxl,s次的复
10、系数多项式).对于方程y(n)piy(n 1) L pn 1y pny Qm(x)e( 1 )x可设其特解YxkZm(x)e( 1 )x，(Zm(x)是m次待定复系数多项式，k等于i为特征根的重数)，将YxkZm(x)e( 1 )x代入方程y(n)P1y(n 1 L pn 1ypny Qm(x)e( 1 )x中，可定出Zm(x)，于是YxkZm(x)e( 1 )x，从而原方程的特解y ReY .3特例当f (x) e xR(x)cos x或f (x) exR(x)sin x时，设Y乙(x)e( i )x，将其代入y(n) p y(n 1) Lpmy 期 F?(x)e( i )x,求得丫，则原方
11、程的一个特解 y ReY或y ImY6. Euler方程的解法形如Pn ixy Pny f(x)n (n)n 1 (n 1)x y PiX y的线性变系数微分方程称为Euler方程，是一种可化为常系数的变系数微分方程解法只需作变换x et,即t In x,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子D dt则xy Dy ,x2y D(D 1)y, xny(n) D(D 1) (D n 1)y,于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下，设出未知函数y y(x),据已知条件写出相关的量；(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律(往
12、往是瞬时规律或 局部近似规律)建立微分方程；(3) 提出定解条件；求定解问题的解；(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性二课堂练习(除补充题外，均选自复习题12)1.填空题2 2(1)已知力 ex及 y xe是方程y 4xy (4x2 2x(4) 若 y1x ,y2 x e , ya2)y0的解,2则其通解为 ex (Ci C2X)., 2 2 2解：因y1 ex , y2 xeX都是解，且线性无关，故ex (G C2x)是通 解.(2)设一质量为m的物体,在空气中由静止开始下落.若空气阻力为R k v ,则其下落的距离s所满足的微分方程是s k S g,m初始条件是s(0)0, s(0)0
13、 .解:因为Fma,而 Fmg k . v ,v s ,a s ,故得方程O s(0)-s(t)smg k , s ms，化简得 s k . s g ; m在如图所示的坐标系下，初始条件为s(0)0,s(0)0(3) 微分方程y 2y y 6xex的特解y的形式为 x2 (ax b)ex.解：因为特征方程为r2 2r 1 0,r1 r2 1,而 1是二重特征根,故应设 y x2(ax b)ex.x2e2xe5x都是线性非齐次微分方程 yP(x)y q(x)yf (x)的解，则其通解为Ge2xC2e5x解：由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知，丫1y2 y1 e2x, Y2gy2e5
14、x都是对应的齐次方程的解，且线 性无关，故对应 的齐次 方程的 通解为YC1Y1C2Y2C1e2xC2e5x;由非齐次方程解的结构得其通解、/2 x5 x 2y Yy-iC1eC2ex .(5)(补充)已知f(x)满足xf(x)x2f (x)eTx解:两边对X求导得f (x) xf (x)x2 f (x)，整理得f (x) x x f(x),分离变量后积分得2ln f(x)耸In xIn c,即卩 f(x)-e2 ,x 0;x又当x 1时，f1tl1 t2 ce2 dt0 t1122ce21 ce2 c故c 1,所以f(x)x2eTx血(补充)设f (x)有连续导数，且f (0)1 .若曲线积分l yf (x)dx f (x) x2dy 与路径无关，则 f (x) 3ex 2x 2yf(x),Q f(x) x2 .因为积分与路径无关，故有f(x)Q，即x
