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1、几何基础学习指导(6)第4章射影变换重难点解析1.交比和调和比仿射变换(对应)是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念， 它又是仿射变换的基本不变量在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素可以证 明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量由此引入交比概念，首先研究共 线四点的交比(1)关于交比的定义定义()把交比定义为两个单比的比，即共线四点A, B, C, D的交比定义为两个单比(ABC)和(ABD)的比，表为(AB,CD)= (ABCl.(ABD)交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另 一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A, B, C, D的坐
2、标顺次为A, B, A+ 入B, A+ 入 2B,则(AB, CD)=鼻入2以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB，CD)=，所用坐标的非齐坐标，AC,(ABD) BC - ADBD, BC, AD都指有向线段的代数长度；第二种定义方法AB, CD)=务，用齐次坐入2标.例如，共线四点A (2, 1, -1),C (1, 0, 0),D (1, 5, -5),求C=A + B,入 1=1，D= 2A-3B,B (1, -1, 1),(AB, CD)时，可把A和B作为基础点对，则 入=_ 223所求交比亠-2九23注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷 远点
3、.所以，定义(AB, CD)= AC BD，还属于欧氏平面上的定义，不能解(ABD) BC - AD决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB, CD)=卜的定义方法.入2关于交比的定义，要注意以下问题： A, B, C, D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同； AC, BD, BC, AD都是有向线段的代数长，因而交比(AB, CD)是个数 值.2)交比的性质由于 A，B，C，D 四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可 以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每 个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列
4、 所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值， 就可求出其它23个交比值.例如，已知(AB, CD)=3，则可知(DC, BA)= (BA, DC)= (AB, CD)=3.而(AC, BD)=1(AB, CD) = 2(3)几个特殊的交比共线四点A, B, C, D中，设A, B, C是固定点，第四点D沿直线移动可以 证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比(AB, CD)的值.点D的 不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D在两个不同的位置，且有(AB, CD) = (AB, CD)则(ABC) =(ABC),人(ABD) _ (ABD，)，因而
5、(ABD) = (ABD)这只有在D = D时，等式才成立，因此，(AB, CD)的每个值，对应点D的 一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论证明如下： 设已知三点的坐标是A+ 九 B, A+ 九 B, A+ V,B123则由*_、)(*)= k(其中k为定值，且kMO, 1)(九2 _)(_九4)可以求出九4，确定第四点因此第四点A+九4B唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况 D与C重合时，则有(AB, CD) = 1 当D与B重合时，则有(AB, CD) = (AB, CB) = ACBB = 0BC - AB 当D与A重合时，(AB, CD) = (AB,
6、 CA) = ACBABC - AAD为无穷远点时，则有(AB, CD) = (AB, CD) = (ABC) = (ABC)(ABD可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比(ABC),利 用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其 交比.4)点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当(AB, CD) =-1时，称为C, D调和分割A, B.或称点偶A, B与点偶C, D调和共轭.D叫做A, B, C的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A, B, C, D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下， 这六个交
7、比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭 的两对点偶时，(注意排除两点重合和虚点不考虑)，那么这六个交比值才有相同的.(5) 线束的交比和调和比 由定义知，四直线A, B, C, D的交比为IABCU，注意这个定义(ABD) BC - AD中数目的排列. 要注意定理：如果线束S的四线A, B, C, D被任何一条直线S截于四点A, B, C, D,贝y (AB, CD)=(AB, CD)的证明.在上述定理中，若点S, A, B, C, D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷 远点或S为无穷远直线时(即A, B, C, D都是无穷远点)，此定理仍成立.即(AB, CD)的值
8、与直线S的取法无关，所以仍可取(AB, CD) = (AB, CD) 定理是一个非常重要的定理，由于定理可以证明两点列同时截一线束，则 此点列上对应四点的交比相等还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条 对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的 不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究(6) 有关交比的作图问题 有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完 成，需要用相应例题来理解. 第四调和点的作图用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点利用相似三角形作第四调和点.(7) 利用交比的调和共轭解初等
9、几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用， 运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面： 角平分线的调和性. 利用交比证明有关圆的问题. 与图有关的调和共轭问题.2完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和 性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位.值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比, 所以定义调和比此时用了变量概念对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全 不用度量概念，而使用下列方法来定义调和比或调和共轭
10、.即“一直线S上的点偶A， B与C，D，A，B是一个完全四点形的对边点，C，D是通过第三个对边点的两条 对边与S的交点，则A, B与C，D成调和共轭”这种定义是综合地纯射影的定义, 这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和 性.学习本单元内容时还应注意以下问题：(1)注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4,如图 为简单四边形而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图 形，如图4-4.完全四点形ABCD有四个顶点A，B，C，D,有六条
11、边(即任何两顶 点的连线都是边)，通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此 有三对对边：AB与CD； AC与BD； AD与BC,对边交点叫对边点，共三个，即 ABxCD=X, ACXBD=Y, ADXBC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.A图4-3完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割. 完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.(2)利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道，一直线l上的点偶P2, Q, Q2成为调和共轭的充要条件是：“片 和P2是一个完全四点形的对边点，Q和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的 交点”根据
12、这个道理，可以通过完全四点形的作图来作第四调和点如图4-5，已知直线l上有三点P, P2, P3，求作点P4，使(PP2, P3P4)=-1. 作法如下：过PP2若任作一直线交于点A,在P2A上任取一点B,连BP3，过 PA于点C,再连P2C, PB,交于点D.连AD与L交于P4，则P4为所求第四调和 占八、lP3应当指出，以上作图是只用一根直尺完成的而且过片，P2的直线是任意作的， 但P4点是唯一的，这由笛沙格定理保证.在图4-5中，根据定理，若P4为P1P2中点，则P为l上无穷远点，于是利用 直尺可以作出CB （3）应用完全四点形的调和性解初等几何问题.利用完全四点形的调和性，可以比较简捷
13、地解决一些初等几何中的共点和共线问 题.例如，三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.3-维基本形的射影对应（1）什么叫一维基本形基本形，指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合，一维基本形指点 列和线束.什么叫一维呢？关于维的概念，要注意几何学的维与空间的维是有区别的几何学中的维数，指几何元素活动的自由度，也就是几何元素的坐标或参数必 不可少的数目，这个数就是几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标， 但在点列中以A, B为基点的任一点坐标可以表为A，B的坐标的线性组合，即C = A +久,其中入为参数，所以点列中的点可以用一个独立参数表示（对于线束也有 类似结论）也就是说
14、，点列的每个点（或线束中的每一直线）都可以用一个独立 参数表示，点列和线束就叫一维图形点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数，是指把直线，平面或空间都看成四点构成，空间的维数是点 活动的自由度，所以直线叫一维空间.平面叫二维空间，我们生活的空间叫三维空 间.由于几何学研究的元素不限于点，所以几何学中的维与所处空间的维不同上匕 如，平面上的直线几何应该叫二维几何学，这是由于把直线看作基本元素，平面上 决定直线需要两个比值，即必不可少的参数为2.（2）一维基本形的透视对应与射影对应的关系在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言，本章所论的透视对应则 对中心投影而言，透视对应包括点列和
15、线束之间的透视对应；点列与点列之间的透 视对应在定义中可以将点列换成线束，或把线束换成点列所以点列与线束的透视 对应具有对称性由透视对应的定义还可以看出，透视对应保持四元素的交比不变但透视关系不满足传递性.需要注意，透视对应一定是射影对应，但射影不一定成透视对应，因此，透视 对应与射影对应是特殊与一般的关系. 射影对应必是一一对应，且具有传递性、对称性、反身性，即具有等价关系. 透视对应在什么条件下才成为射影对应呢？由定理知,两个点列间的射影对 应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应两个点列成射影对应时，把它们的公共点看作是第一个点列的点时，它在第二 个点列上的对应点，一般情况下不是它本身，只有当两个点列成透视对应时，其公 共元素才自对应. 应该注意，如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点，则该对应一定是仿 射对应，要证明这个结论，只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变所以，仿射对应可看作特殊的射影对应.4.维基本形的对合(1) 关于对合概念对
