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1、人教版初中数学18.2 勾股定理的逆定理之整体设计18.2 勾股定理的逆定理 整体设计【教材分析】本大节是勾股定理的逆定理，它是在学过勾股定理的基础上进行的.教科书以古埃及人的做法为出发点，让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形.从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.这个猜想可以利用全等三角形证明，从而得到勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法.进一步完善了直角三角形的判定.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法.这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代
2、数运算“算”出来.实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的.从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法意义重大.本大节的第一个难点是勾股定理的逆定理的证明.可用如下的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受.要善于为学生搭好台阶，扫清障碍.具体操作思路：（1）如何判断一个三角形是直角三角形？现在的方法比较单一：有一个角是直角的三角形是直角三角形.如此看来，问题的关键是转化为如何判断一个角是直角；（2）
3、利用已知条件先行构造一个直角三角形，再证明它和原三角形全等，使问题得以解决；（3）要构造直角三角形，先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.另外，几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念，也是本节的难点.在本节学习之前，学生已见过一些互逆命题（定理），如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题.勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，教科书在前面已有感性认识的
4、基础上，在本节结合勾股定理逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，还相应配备了一些练习与习题.如此设置有效地突破了抽象概念带来的理解阻力.课时分配：3课时. 第1课时【教学目标】知识与技能目标1、 理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.2、 探索并掌握直角三角形判别思想，能用之判断一个三角形是否为直角三角形，会应用勾股定理逆定理解决实际问题.3、 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.过程与方法目标经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，渗透合情推理的数学意识.情感、态度与价值观目标1、培
5、养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值.2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系.【教学重点、难点】教学重点：理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用。.教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。方案设计（一）【教学方法与教学准备】 教学方法：体验探究式教学方法（情境认知，操作感悟，师生互动）。教师准备：实物投影或多媒体课件，教具：钉子与打结的绳子。学生准备：（1）复习勾股定理，预习“勾股逆定理”；（2）纸片、剪刀。 教学过程 一、创设情境，导入课题 （设计说明：设置问题1既为了复习勾股定理，又为问题2的出现
6、做了孕伏，它是从形到数的认识过程，问题2则从数到形揭开探索的序幕，同时，两个问题珠联璧合演绎了数形结合.设置介绍古埃及人的做法以及学生的操作活动，可进行动手能力的培养和数学史教育，使得逆定理的现身顺乎自然，渗透了人文精神和探究意识.）问题1：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长（单位：cm）.（1）a=3，b=4（2）a=2.5，b=6图1 （3）a=4，b=7.5答：（1）c=5（2）c=6.5（3）c=8.5.问题2：分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？ （教学说明：反其道而行之，从反面提出了问题，具有一定的探索性，欲探真情，需要亲自动手，激起了学生的动手欲望.
7、）学生顺势肯定能作出是直角三角形的猜想，但只说不做，往往只是乱想，在问题2的答问后，老师介绍古埃及人画直角的方法，在介绍过程中，让3位学生上台动手操作演示. 用备好的一根钉上13个等距离结的细绳子，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用钉子钉成一个三角形（如图1）。然后让台下一位同学用三角板(角尺)量出最大角的度数：90。由此验证学生的猜想：以3、4、5为边的三角形是直角三角形。 问题3：是不是只有三边长为3，4，5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，满足关系式“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换
8、成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm呢？ 学生活动：动手画图，体验发现，进一步验证猜想（记作命题2）。命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（教学说明：教师要发挥好引路人的作用，激励学生敢于动手，敢于猜想，善于实践.）二、明晰概念，证实发现.(设计说明：从比较勾股定理（命题1）与命题2的题设与结论，认识命题的互逆性.然后采用学生实验、操作的方式感知勾股定理的逆定理的正确性，并为逆定理的证明提供了导向。问题4实际上是对教材82页探究的改造，如此更能凸显问题的本质，把探究可作为问题索引的导线，在证明结束时，逆定理的名称已呈水到渠成之势.) 问题
9、1：命题1、命题2的题设、结论分别是什么？学生回答：命题1的题设是：直角三角形的两条直角边分别a，b，斜边长c 结论是：a2+b2=c2命题2的题设是：三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 结论是：这个三角形是直角三角形 教师分析：可以看出，大家回答的这两个命题的题设和结论正好是相反的，像这样的两个命题称为互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。 问题2：请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明。 学生活动：分四人组，互相交流，然后举手发言。以下素材供参考：1。原命题：若 ，则 .（正确） 逆命题：若 ，则 .（不正确）
10、2。原命题：对顶角相等（正确） 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3。原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等。（正确） 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（正确） 4。原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等。（正确） 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（正确）（教学说明：在学生充分的举例、交流的基础上，提供上面的素材让学生再认识，并明确：（1）任何一个命题都有逆命题，（2）原命题是正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确，（3）原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系。）问题3：由上发现原命题正确，其逆命
11、题不一定正确，那我们发现的勾股定理的逆命题一定正确吗？还需要我们做什么？答：不一定正确，还需要证明.由此引出问题4.问题4：已知：如图2，ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，求证：C=90. 分析：在图2中，ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等。实际情况是这样的吗？我们画一个直角三角形ABC，使BC=a，AC=b，C=90（图3），再将画好的ABC剪下，放到ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合，（2） 证明：作Rt
12、ABC， 使C=900，AC=b，BC=a由勾股定理得AB= 图3 图2 AB=c ，a2+b2=c2AB= AB= AB，又AC= AC ，BC= BCABCABC（SSS）C=C= 900故，ABC是直角三角形。教师归纳：由上面的探究过程可以说明，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的。而如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。（教学说明：在提出的探究问题的基础上，做好分析、引导，督使学生思考，然后再提问个别学生。通过学生操作、观察、验证两个三角形全等，从中孕育了辅助线的添加为逻辑论证作好了铺垫
13、.促使学生手眼、脑等多器官的参与，从感觉到到知觉，从感性到理性，实现难点的突破。问题4的教学时要特别注意：构造法的使用，这是首次如此作辅助线；防止学生默认C=90，从而用SAS来证明两个三角形全等；抓好定理的条件和结论的分析，突出定理数形变化特点.）三、范例点击，演练提高. （设计说明：进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理的本质特征以及在判断是否为直角三角形方面的运用，领会互为逆命题的关系及正确性，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力.通过例1及相关讨论，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点.）问题1：知道勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗？试举例说明.（估计有些同学是知道的，但可能似是而非）显然
14、如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，通过判断他们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形.如以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？解： 62+82=102以6，8，10为边的三角形是直角三角形.问题2：完成以上类题目时有没有规律，是不是盲目计算呢？比如判断三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形，是否把任意两边的平方和都算出来，再与第三边比较，还是有其他方法？如： ， ， 中的哪一个与第三边的平方比较呢？学生讨论，发表见解，达成共识：为了简化判断的次数，应该用较短的两边的平方和，与最长的那个边的平方比较.例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角
15、形? （1）a=15，b=17，c=8; （2）a=13，b=15，c=14分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.解:(1)最大边为17152+82=225+64 =289172 =289152+82 =172以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形(2)最大边为15132+142=169+196=365152 =225132+ 142 152以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形教师指出：像15，17，8能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.然后提出问题：同学们还知道哪些勾股数？答：（1）3，4，5；（2）6，8，10；小试身手：1。请完成以下未完成的勾股数： （1）5、12、_；（2）10
