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1、第二十一讲 等积变换 一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。例题1:两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。解:因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底
2、为10-3=7(厘米),面积为(7+10)22=17(厘米2)。答:阴影部分的面积是17厘米2。例题2:在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50(厘米2)。 答:平行四边形ABCD的面积是50cm.例题3:在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,
3、BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。解:因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。梯形ABCD面积=(8+4)62=36(厘米2),三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),EC=1862=6(厘米),ED=6-4=2(厘米)。答:ED的长2厘米。例4:下页上图中,ABCD是74的长方形,DEFG是102的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三
4、角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4(10-7)2-2(10-7)2=3。解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4(10-7)2-2(10-7)2=3。答:三角形BCO与三角形EFO的面积之差是3.例题5:左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。解:连结AD(见右上图),三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不
5、变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于442=8(厘米2)。 答:三角形ABC的面积是8厘米2。 练习1、 下左图中,已知BD长是10,DC长是15,E是AD的中点,如果三角形ABD的面积是100,三角形DEC的面积是多少? 2、上右图中,三角形的面积是30平方厘米,是的中点,的长是的长的2倍,那么三角形的面积是多少平方厘米?3、如下图,把三角形的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍.4、如图,三角形BDE的面积是5
6、4平方厘米,三角形ABC是平行四边形CDEF面积的3倍,求三角形ABC的面积。5、 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米。6、 如图,四边形ABCD中,E为AB的中点,F为CD的中点。如果四边形ABCD的面积是120平方厘米,求四边形BEDF的面积是多少?7、左下图中,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米,以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?8、右上图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。9、左下图中,扇形ABD的半径是4厘米,甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。(=3.14)10、在右上图的三角形中,D,E分别是所在边的中点,求四边形ADFE的面积。11、下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。12、右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。13、如图,三角形ABC的面积是30平方厘米,AE=ED,BD=BC,求阴影部分的面积和。