《2020年高三数学第二轮复习讲义导数及其应用理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高三数学第二轮复习讲义导数及其应用理（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数及其应用类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例1：设函数f(x) x3 ax2 9x 1(apO).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线I2x+y=6平行，求：(I) a的值；(n)函数f(x)的单调区间.解：(I ) a3,由题设a 0,所以a 3.(n )由(I)知 a 3,因此 f (x) x 3x 9x 1,f (x) 3x2 6x 9 3(x 3(x 1)令f (x) 0,解得：1k 3.当x ( , 1时，f (x) 0,故仆)在(，1)上为增函数；当x ( 1,3时，f(x) 0,故f(x)在(1,3)上为减函数；当x (3,+ )时，f (x) 0,故f
2、(x)在(3,)上为增函数.由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3,);单调递减区间为(1,3).变式训练1:设函数f(x)4 x32ax 2xb(x R)，其中 a, b R(I)当 a10时，讨论函数2f (x)的单调性；(n)若函数f (x)仅在x0处有极值，求a的取值范围；322(I)解：f (x) 4x 3ax 4x x(4x 3ax 4).10 2当 a时，f (x) x(4x2 10x 4) 2x(2x 1)(x 2) 令 f (x) 0，解得 x, 0，31 11X2， X3 2 . f (x)在0, ， (2，x )是增函数，在(x,0)，,2内是减函数.2 2
3、2(n)解：f (x)x(4x23ax 4)，显然 x 0不是方程 4x2 3ax 40的根.为使f (x)仅在x 0处有极值，必须4x2 3ax 4 0恒成立，即有 9a264 0 .888 8解此不等式，得 a .这时，f (0) b是唯一极值.a的取值范围是，一.333 3类型二：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题例2:设a为实数，函数f (x)3 x2 xxa。(1 )求f (x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时,曲线yf (x)与x轴仅有一个交点。解：(1) f (x) 3x2 2x 1，若 f(x)0,1则 x-,131所以f(x)的极大值是f 丄_5a ,极小值是f (
4、1) a 1 。327(2)函数 f (x) x3 x2xa(x1)2(x 1) a 1 0由此可知x取足够大的正数时，有f(x) 0, x取足够小的负数时，有f (x) 0 ,所以曲线y f(x)与x轴至少有一个交点.结合f (x)的单调性可知:当f (x)的极大值 a 0，即a , 时，它的极小值也2727因此曲线y f (x)与x轴仅有一个交点，它在 (1,当f (x)的极小值a 1一个交点，它在0时，即a1上。当a3(1,变式训练2:.已知函数1因为函数f(x)丄X4414f(x) -x4392x x2)上;)上时，它的极大值也小于0，y f (x)与x轴仅5U(1,)时，y f (x
5、)与x轴仅有一个交点。279 2xcx有三个极值点。证明：27 c 5 ；2cx有三个极值点,所以 f (x) x3 3x2 9x c 0 有三个互异的实根设g(x)32x 3x 9x c,则 g (x)23x 6x 93(x3)(x 1),当 x 3 时，g (x)0,g(x)在(，3)上为增函数;当3 x 1时，g(x)0, g(x)在(3,1)上为减函数；当x1时，g (x)0, g(x)在(1,)上为增函数,所以g(x)在x3时取极大值,在x 1时取极小值。当g( 3) 0或g(1)g(x) 0 最多只有两个不同实根。g(x) 0有三个不同实根，所以g( 3)0 且 g(i)即 27
6、27 27 c 0,且 13 9c 0，解得c 27,且 c5, 故 27 c5.类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例3:.已知函数f (x) xax2 x 1， a R .(1)讨论函数f (x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间1-内是减函数，求a的取值范围.3解：(1) f(x) x3 ax21 求导得 f (x) 3x2 2ax当a23时,f (x)0， f(x)在R上递增；当2a 3， f (x)0求得两根为f (x)在J-53递增,，亠匸递3减,aa2 33递增。(2)a、a2 33aa2 3322，且133，解得a 2。变式训练3：设函数f (x)x2 bln(x1),其
7、中b 0.1(I)当b 时,判断函数f (x)在定义域上的单调性；(11)求函数2f (x)的极值点；高&考%资(源#网WXC解：(I)函数f (x)X2 bln(x 1)的定义域为1,f(X)2x x 12x2 2x bx 1高&考 %资(源#网WXC令 g(x)2x2 2x则g(x)在1, 上递增,21,1-上递减,2g(x)ming( J)1 时，g(x)ming(x) 2x2 2x b1,上恒成立.f (x)0,即当b *时,函数f (x)在定义1,上单调递增。(II)分以下几种情形讨论:(1)(I)知当1时函数f (X)无极值点.(2)f(x)2(x 1)211,0,2,时，f(x)
8、,函数f (x)在1,上无极值点。(3)f (x)0得两个不同解高&考资(源#网wxc x11 J 2b2X21.12b2X1X21.1 2bX1,X21,X21,f (x)在1,唯一的极小值点X2当 0-时,21,高&考资(源#网WXC f (X)在1,x1,X2,都大于 0，f (x)在(X1,X2)此时f (X)有一个极大值点X1和一个极小值点X2221,2b综上可知，b 0时，f(x)在 1,上有唯一的极小值点 x21 ii 2bii 2b0 b -时，f(x)有一个极大值点 Xi 和一个极小值点 X2 2 2 2ib 时，函数f (x)在 I,上无极值点类型四：含字母时，对导函数的零
9、点以及区间的位置进行分类讨论i例 4:已知函数 f(x) -x3 ax2 bx,且 f( i) 0(I)试用含a的代数式表示 b ; (n)求f (x)的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m:解：(I)依题意，得b2a i()由(1)得 f (x)i 32x ax3(2ai)x (故 f (x)2x 2ax2a i (xi)(x2a i)令 f *( x) 0 ,则 xi 或 x i 2a当ai时，i2a i由此得，函数f (x)的单调增区间为(,i2a)和(i,)，单调减区间为(i 2a, i)由a i时，i 2ai，此时，f (x) 0恒成立，且仅在x i处f(x) 0，故函数
10、f (x)的单调区间为R当a i时，i 2a i, f(x)的单调增(,i)和(i2a,)，单调减区(i,i2a)综上:当ai时，函数f (x)增区间为(,i2a)和( i,)，单调减区间为(i 2a,i)；当ai时,函数f(x)的单调增区间为 R;当ai时，函数f(x)的单调增区间为(，i)和(i 2a,)，单调减区间为(-i.i-2a)变式训练4：已知a是实数，函数f(x) x2(x a)(1) 若f(i)3，求a的值及曲线y f(x)在点(i,f (i)处的切线方程；(2) 求函数y = f (x)在区间i , 2 上的最小值。解：(i) f (x) 3x2 2ax，因为 f (i) 3
11、 2a 3，所以 a 0.又当 a 0 时，f(i) i , f (i) 3, y f(x)在(i, f (i)处的切线方程为 3x y 2 0 .2 设最小值为 m , f/(x) 3x2 2ax 3x(x a),x (i,2),3当a 0时，f/ (x)0, x (i,2),则f (x)是区间i,2上的增函数，所以m f (i) i a ；2a2当a 0时，在x 0或x时，f/(x) 0,从而f(x)在区间a,)上是增函数；3 32a2在Ox 时，f/(x)0,从而f (x)在区间0, a上是单减函数3 3t2c当三a 2，即a 3 时，mf (2)3上2a4a33丄mf ()；当0 a时
12、,3272*z3、1 a,(a)2则函数的最小值34a / 3m,(a3)2724(2a), (a3)题型五、恒成立问题2 38 4a :当1 a 2，即 a 3时,3 2m f (1)1 a.3例 5.设函数 f (x) x2 3x 3a(a 0)。3(1)如果a 1，点P为曲线yf (x)上一个动点，求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若x a,3a时,f (x)0恒成立,求a的取值范围。解：(1)设切线斜率为k,则kf (x)x2 2x3当x 1时，k取最小值-4 ,20又f (1)20 ,所以，所求切线方程为20 y T4(x 1)，即 12x 3y 80函数所以由 f(x)f (x)在0 af(3a)x23a2x 3和3,变式训练5:已知函数f (x)(1)若y f (x)在区间2 m0，解得:上是增函数，在0 a 3 3af(3) 0x3 3x21,m 1上是增函数,1,3上是减函数。a 3解得a 6f(a) 0求实数 m的取值范围;
