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1、福建师范大学21春近世代数在线作业一满分答案1. 对下列三个线性规划问题,分别写出其对偶问题,并加以比较: (1)max s.t(i=1,2,m), xj0(j=1,2,n);对下列三个线性规划问题,分别写出其对偶问题,并加以比较:(1)maxs.t(i=1,2,m),xj0(j=1,2,n);(2)maxst(i=1,2,m),xj0(j=1,2,n),xsi0(j=1,2,m);(3)st(i=1,2,m),xj0(j=1,2,n),xsi,xai0(i=1,2,m),其中M表示充分大的正数它们的对偶问题都是 min s.t(j=1,2,n), u10(i=1,2,m) 注意到(1),(2
2、),(3)三个问题是等价的由此看出:对任何线性规划问题,不管其形式如何变化,其对偶问题是惟一的 2. 求微分方程y&39;&39;+y=2sin3x的通解。求微分方程y+y=2sin3x的通解。(1)先求对应齐次方程的通解。 由于对应齐次方程的特征方程r2+1=0的特征根为r1,2=i,则对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx (2)再求该方程的一个特解。 因为自由项f(x)=2sin3x为Pm(x)exsinx型函数,为求该方程的一个特解,先求方程y+y=2e3ix的一个特解。 由于i=3i不是特征根。故其特解可设为y*=ae3ix。把它代入方程y+y=2e3ix并消去
3、e3ix,得,即y+y=2e3ix的一个特解为 取其虚部就得到题设方程的一个特解为。因此题设方程的通解为 3. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P-1X1)=_已知连续型随机变量X的概率密度为则概率P-1X1)=_1-e-10.6321根据计算概率公式,因此概率 P-1X1 =1-e-10.6321 于是应将“1-e-10.6321”直接填在空内 4. 盒子中有10个球,其中8个白球和2个红球,由10个人依次取球不放回,求第二人取出红球的概率盒子中有10个球,其中8个白球和2个红球,由10个人依次取球不放回,求第二人取出红球的概率0.25. 画一个无向简单图,使它满足:画一个无向简单图
4、,使它满足:见下图(a) $见图(b)$见图(c)$见图(d) 6. 对事件A,B,说明下列关系式相互等价: (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)对事件A,B,说明下列关系式相互等价:(1);(2)(3)A+B=B;(4)AB=A;(5)用文氏图表示事件A,B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的,即 又有 于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。 7. 关于函数极限和数列极限的关系,有哪些应用?关于函数极限和数列极限的关系,有哪些应用?我们有下述定理给出的更强的结果: Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是:对任何数列x
5、n,满足xnx0(n)且xnx0(nN+),有存在. 这个性质称为函数极限的归并性,它有以下一些应用: (1)证明极限不存在,只需找出一个数列xn:xnx0(n),且xnx0(nN+),数列f(xn)发散;或找出两个数列xn和xn:xnx0,xnx0(n),xnx0,xnx0(nN+),数列f(xn)和f(xn)有不同的极限 (2)为求极限,可以先找一个数列xn:xnx0(n),xnx0(nN+),求出数列f(xn)的极限:.然后,再证明. 8. 设函数f(x)在点x0处连续,且=2,则f(x0)=_设函数f(x)在点x0处连续,且=2,则f(x0)=_29. 用另一种方法构造成对比较阵A=(
6、aij):aij表示因素Ci与Cj的影响之差,aji=-aij,于是A为反对称阵,并且,当aik+ak用另一种方法构造成对比较阵A=(aij):aij表示因素Ci与Cj的影响之差,aji=-aij,于是A为反对称阵,并且,当aik+akj=aij,(i,k,j=1,2,n)时A是一致阵规定权向量w=(1,n)T应满足,aij可记作aij=(i-j)+ij,(对一致阵ij=0)试给出一种由A确定权向量w的方法与1-9尺度对应,这里用0-8尺度,即aij取值范围是0,1,8及-1,-8由aij=i-j+ij(i,j=1,n),共n2个方程,要确定i,ij共n2+n个未知数,需增加n个方程上式对j求
7、和得 (i=1,n) (1) 令 (i=1,n) (2) 注意到,并将(1)再对i求和,可得 (3) (2),(3)代入(1)则得 (i=1,n) (4) 对于一致阵有=0,不一致程度可用/n衡量 10. 设f(x),g(x)是E上的非负可测函数。若 f(x)=g(x), a.e.xE, 则 Ef(x)dx=Eg(x)dx设f(x),g(x)是E上的非负可测函数。若f(x)=g(x),a.e.xE,则Ef(x)dx=Eg(x)dx令E1=xE:f(x)g(x),E2=EE1,m(E1)=0,于是有 EF(x)dx=Ef(x)E1(x)+E2(x)dx =E1f(x)dx+E2f(x)dx =E
8、1g(x)dx+E2g(x)dx=Eg(x)dx 11. 给定微分方程组 , 其中f(x,y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的,而f0则零解给定微分方程组,其中f(x,y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的,而f0则零解不稳定取定正,有V=-(x2+y2)f(x,y)当f0时V定负,零解渐近稳定,而f0时V定正,零解不稳定12. 从总体X中抽取容量为80的样本,频数分布如下表: 区 间 left(0,frac14 right left(frac从总体X中抽取容量为80的样本,频数分布如下表:区 间left(0,frac14 rightleft(
9、frac14,frac12 rightleft(frac12,frac34 rightleft(frac34,1 right频 数6182036试在显著性水平=0.025下检验总体x的概率密度为是否可信?H0: 列表计算如下(n=80): k 区间 fk pk npk fk-npk (fk-npk)2/npk 1 left( 0,frac14 right 6 0.0625 5 1 0.20 2 left( frac14,frac12 right 18 0.1875 15 3 0.60 3 left( frac12,frac34 right 20 0.3125 25 -5 1.00 4 left
10、( frac34 ,1right 36 0.4375 35 1 0.03 其中 (k=1,2,3,4) 统计量 查表 H0的拒绝域为29.348,而2=1.839.348。所以接受假设 H0: 13. 设fL(R)且-fdm0,a是一确定的实数。令 xR 试证:设fL(R)且-fdm0,a是一确定的实数。令xR试证:设,则存在N0,使当xN 时 于是 故 14. 设函数w=f(z)在z1内解析,且是将z1共形映射成w1的分式线性变换试证 若w=f(z)是将z1若w=f(z)是将z1共形映射成w1的单叶解析函数,且 f(0)=0,arg f(0)=0 试证:这个变换只能是恒等变换,即f(z)z正
11、确答案:由施瓦茨引理 f(z)z(z1) rn z=f-1(w)w(w1) rn 由、 f(z)zf(z)=eiaz rn 再由条件arg f(0)=0知=0即f(z)=z由施瓦茨引理f(z)z(z1),z=f-1(w)w(w1)由、f(z)z,f(z)=eiaz再由条件argf(0)=0,知=0,即f(z)=z15. 有效数字越多,相对误差越_有效数字越多,相对误差越_小16. 设向量的始点为P1(2,0,-1),方向余弦中的;,求向量的坐标表示式及终点坐标设向量的始点为P1(2,0,-1),方向余弦中的;,求向量的坐标表示式及终点坐标设终点P2(x,y,z)=(x-2)i+(y-0)j+(
12、z+1)k 于是,终点坐标是 向量的坐标表示式是 17. 设f(x)=|x(1x)|,则( ) Ax=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 Bx=0不是f(x)的极值点,但(设f(x)=|x(1-x)|,则()Ax=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点Bx=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点Cx=0是f(x)的极值点,(0,0)也是曲线y=f(x)的拐点Dx=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点C18. 设设方程x=yy确定y是x的函数,则dy=_设方程x=yy确定y是x的函数,则dy=_正确答案:方程x=yy两边取对数得lnx=lny,由此两边再求微分,即得不难解出19. 某试验室有A、B两种仪器,测量某一物体长度分别进行7次和10次,得数据(单位:mm)如下: A 97 102某试验室有A、B两种仪器,测量某一物体长度分别进行7次和10次,得数据(单