《二项展开式中系数最大值问题的探究学习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项展开式中系数最大值问题的探究学习（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项展开式中系数最大值问题的探究学习 浙江诸暨草塔中学 311812 摘要：二项式定理中常常出现一类求二项式系数最大值的问题，它除了要搞清楚某一项的二项式系数和系数的区分以外，还要对部分常见的系数最大值问题进行探求分析. 本文将对二项展开式中系数最大值问题进行探究.关键词：二项式；最大值；方法；探究以下是实录教学过程中师生的对话，从中能够表现出对二项展开式中系数最大值问题的探究过程.问题求+10展开式中系数最大的项.师：本题小括号内的项很复杂，不但有三次和五次根式，分母中还含有变量，请思索展开式中各项系数和二项式系数的关系.生：因为小括内的两项和本身的系数为1，因此展开式中每一项的系数全部等于
2、该项的二项式系数，而展开式中中间项的二项式系数最大，故只需求二项式系数最大项即可.解析由题可知，二项展开式的系数即是该项的二项式系数，因此系数最大的项为第6项，即T6=C55=252xy-1.探究1求9展开式中系数最小的项.师：本题小括号内两项的系数和上题有何区分？生：本题小括号内两项的系数分别为1和1，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数，即每一项的系数的绝对值和该项的二项式系数相等.解析由题可知，二项展开式的系数的绝对值和该项的二项式系数相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数
3、最小的项为第6项，即T6=Cx45=126x4y5.探究2求4展开式中系数最大的项.师：能够发觉，本题中小括号内两项的系数和二项式系数既不相等也不相反，该怎样来求系数最大的项？生：师：该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，但我们能够尝试用“夹逼法”来求解.解析设展开式中的第项为Tr+1=Cr 。故r=3. 即第四项的系数最大，T4=C3=32x3.探究3式求解系数最大值时的r一定有解吗？假如有解，会有多个解？你能证实吗？生1：可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大生2：可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这么的r就不存在
4、.师：那我们不妨对通常性结论加以证实. 比如求n展开式中系数最大的项. 请同学们根据“夹逼法”的思想进行探求. 下面由同学们自己思索.解析设展开式中的第项为Tr+1=Car。因此上述方程组必有解. 且当和全部为整数时，r有两解，不然r有且只有一解.探究4求10展开式中系数最大的项.师：本题小括号中第二项的系数为2，因此各项的系数和二项式系数不一样且展开式的项呈正负相间改变，和上题又有区分，又该怎样求解呢？生1：用“夹逼法”. 设展开式中的第项为Tr+1=Cr。师：若将此式展开化简，则因为r的奇偶性不确定，因此r，r+1等的正负性不定，而且因为项的正负相间会有多个满足条件的r，故此法不可取.生2：依据思绪，直接用“夹逼法”不可行，因为项是正负相间的. 而展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数.设r为偶数，令师：上述不等式组中的两个不等式全部是二次不等式，即使理论上能够求出满足条件的r，但求解过程较繁.生3：考虑到项和项的绝对值之间的关系，不妨先求绝对值最大的项.解析Tr+1=Cr，令ar=C2r，令ar+1ar，即C2r+1C2r，因为rN，因此r6，即r1r8r9r10 . 又r=7时系数小于0，故只需比较C28和C26的大小. 求得C28本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
