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1、数字信号处理学号：*学生所在学院：测试与光电工程学院 学 生 姓 名 ：*任 课 教 师 ：% 教师所在学院：测试与光电工程学院2012 年 12 月内积变换原理和时频分析%南昌航空大学研究生学院摘要 ：在数字信号处理中，在对动态信号进行处理时常使用的方法是对动态信号进行傅立叶变化， 短时傅立叶变换和小波变换以及第二代小波变换等等，这些变换的实质是用不同的基函数与信号进 行内积，可见内积变换在数字信号处理中的重要性。时频分析的研究始于20 世纪 40 年代。许多著 名的学者，如时频分析研究的先驱Gabor和Ville，受量子力学中类似研究的启发，把数学中的相 似性引入到了时频分析中，这不仅发展
2、了量子力学中相干状态的数学方法，还把解析信号的重要概 念引入到了时频分析中。Ville推导出Wigner在1932年研究量子统计力学时所得的一种分布 WignerVille 分布，这个分布在时频分析的研究过程中起到了非常重要的作用。如今时频分析已 经得到了许多很有价值的成果，这些成果已在工程、物理、天文学、化学、地球物理学、生物学、 医学和数学等领域得到了广泛应用。时频分析在信号处理领域显示出了巨大的潜力，吸引着越来越 多的人去研究并利用它。关键字：内积变换 时频分析 信号1 内积变换原理在平方可积的空间L2中的函数x(t),y(t),它们的内积定义为(*为复共轭)=J+8x (t)y* (t
3、)dt x (t),y(t)w Lg函数x(t)的自相关函数Rxx(T)以及x(t)与函数y(t)的互相关函数R (T), (T是时间滞xxxy后)，这种关系都可以用内积的方式表示Rxx(T) = f+g x(t)x* (t T )dt =gRxy(T) = f+ x(t)y* (t T )d =xytg当Rxy (T )及Rxx(T )的绝对值达到最大时表示x(t)和x(t T )最相关，以及x(t)和 y (t T )最相关，不妨将x(t T )和y (t T )视为基函数，则内积可视为x(t)与基函数关系 紧密度或相似性的一种度量。2 时频分析的基本理论时频分析的研究对象是信号，尤其是非
4、乎稳或时变信号，因此，我们也可以把时 频分析看作是信号分析与处理的一个特殊分支。信号一般是以时间为自变量来表示的。 通过傅单叶变换(FourierTransformation，简记为FT)，信号也可分解为不同频率分量 之和的形式，也就是说，信号也能以频率为自变量来表示，称之为频谱，这就是大家所 熟悉的时域和频域表示。传统的信号分析中，平稳的随机信号常用其二阶统计量来表征： 时域用相关函数，频域用功率谱。功率谱实质上是一种频域的能量密度分布，因此可以 把它视为频域分布。相关函数和功率谱之间也以FT作为联系的桥梁。基于FT的信号频域表示及其能量频域分布揭示了信号在频域的特征,它们在传统的 信号分析
5、与处理方法中发挥了极其重要的作用。但是，FT是一种整体变换，即对信号的 表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的频谱或功率谱并不能告诉我们 其中的某种频率分量出现在什么时候以及它的变化情况。而在许多实际应用场合，信号 是非干稳的，其统计量(如相关函数、功率谱等)是时变函数。只了解信号在时域或频域 的全局特性是远远不够的，我们最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此， 需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示称为信号的时频表示。时频表示 分为线性时频表示和非线性时频表示。典型的线性时频表示有短时傅里叶变换 (简记为 STFT,也称为短时频谱)、小波变换(WaveletTr
6、ansformation,简记为WT)和Gabor展开 等。非线性时频表示主要是我们后面章节中要讲的各种二次型表示。在很多实际场合， 我们还要求二次型时频表示能够描述该信号的能量分布密度,这种更严格意义下的时频 表示称为信号的时频分布。时频分析的主要任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的,研究并了解时变 频谱在数学和物理上的概念和含义。时频分析的最终目的是要建立一种分布,以便能在 时间和频率上同时表示信号的能量或者强度,得到这种分布后,我们就可以对各种信号 进行分析,处理,提取信号中所包含的特征信息,活着综合得到具有期望的时频分布特 征信号。3 时频分布的基本性质时频分析的基本任务是建立一
7、个函数,要求这个函数不仅能够同时用时间和频率描 述信号的能量密度,还能够以同样的方式来计算任何密度。如果有这样一个分布,就可 以求在某一确定的频率和时间范围内的能量百分率,计算在某一特定时间的频率密度, 计算该分布的整体和局部各阶矩。这样,对于任何一种实际的非平稳信号分析,通常要 求时频分布具有表示信号能量分布的特性,相应地需要时频分布能够具有一些基本性 质。下面我们对常用的一些时频分布基本性质加以介绍。性质 1：实性 时频分布的实性是指时频分布必须是实的。应当指出,作为能量密度的表示,时频 分布不仅应该是实数,而且应当是非负的。但是,实际的时频分布却难以保证总取正值。性质 2：能量特性 通过
8、在全部时间和频率范围内积分,就可以得到总能量。另一种方式是在(0, 0)点 计算特征函数也可以得到总能量。一般地,分布的总能量应该是信号的总能量,即E 二卜订p(t, )dtd = 2兀 I s(t) |2dt 二 J+s I S) |2 dg sss注意,如果联合密度满足边缘条件,那它就会自然地满足总能量的要求,但是相反 的说法并不一定正确。联合密度满足总能量要求,而不满足边缘条件的情况是可能的。 总能量要求是一个弱的要求,这就是许多不满足总能量要求的分布仍然可以给出一个好的时频表示的原因。性质 3：边缘特性时频分布的边缘特性可以描述为广 P(t, )dt =gI S (e) |2 和-Lf
9、 +g P (t,)d 二 I S (t) |2 2兀 g即时频分析关于时间t和频率e的积分分别给出信号在频率e的频谱密度和信号早t 时刻的瞬时功率。性质 4：有限支持特性 时频分布的有限支持特性包括有限时间支持和有限频率支持，分别表示如下 有限时间支持S (t)二 0(I t 卜 10)n P(t, e )二 0(111 10)有限频率支持S (e)二 0(I e | e0) n P(t, e)二 0(I e | e0)有限支持是从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，作为工程 上的近似，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。如果信号s(t)只在某个时间区 域内取非零值，并且
10、信号的频谱S (-)也只在某个频率区间取非零值，则称信号s(t)及 其频谱是有限支持的。类似地，如果在s(t)和S(e)的总支持区外，信号的时频分布等 于零，则称时频分布是有限支持的。 Cohen 指出，一种理想的时频分布应该具有有限支 持特性，即凡在信号S (t)和它的频谱S(e)等于零的各区域，时频分布P(t,e)也都应该等于零。性质 5：时间和频率位移不变性 假设一个信号存在，并且同事存在另外一个信号，该信号与前一个信号相同但在时 间上产生了位移，也就是如果 S(t) t S(t 10)，那么 P(t,e) t P(t 10,e)同样的，如果把频谱搬移一个固定的频率，分布也将搬移同样的频
11、率，即如果S(e) t S(ee0)，那么 P(t,e) t P(t,e e0)这二种情况可以同时处理。如果S (t)表示该信号，那么在时间上搬移10和在频率 上搬移e0的信号可以表示为eS(t 10)。因此，分布分布也将以同样的方式搬移时间10和频率w 0，即如果 S(t) T ejwots(t 10)w 0，那么 P(t,w) T P(t 10,w w0)性质 6;整体平均和局部平均整体平均：任何时候和频率函数g(t,w )的平均值都可以用标准方法计算如下：g (t, w) = f+Mf+M g (t, w)P(t, w)dtd wg g 如果边缘条件被满足，那么就可以保证下面形式的平均值
12、将是正确的g (t) + g 2(w) = f+gf+g ( g (t) + g 2(W)P(t, w)dd wg gJg g(t) I S (t) |2dt + 2-卜 g2(w) I S (w)l dwgg局部平均：如果把联合时频密度作为一般的密度处理，那么对与给定的时间频率密 度和给定的频率时间密度分别为P(w 11)=叱P(t)P(t I w)=空型这里的P (t)和P(w)是边缘密度，即P(t)=卜 P(t, w )dwgP(w) = f+g P(t, w)dtg注意这里我们使用P(t)和P(w)而不是I S(t)|2和I S(w )|2，以便供不满足边缘的可能性只用。在给定的时间和
13、频率的条件下，一个函数的平均值可以表示为：阿=Pt) g (w) P(tw)d wgw(t)=爲g (t) P(t,w)dt对于给定时间的平均时间频率来说，一个比较好的定义是相位的导数，同样，给定的频率的平均时间应该是频谱相位的导数。这样，我们可以认为联合时频密度应该满足1P(t)卜P(t,)d严(t)g1P(w)J+8 tP(t, w)d w = 一申)g根据这种观点，瞬时频率就是在特定时间的平均频率性质 7：线性尺度变换对于一个信号S (t)，由Sa(t) =aS(at)给定的信号是一个S (t)的尺度变换形式，Ct新信号在被放大或者缩小，取决于a是小于1还是大于1。平方根因子ja保持规范
14、化和 原信号一样。尺度变换信号的频谱是1w Sa (W) =S (万)Pa(t,w)二 P(at,可以看出，如果信号被压缩，那么频谱就被扩展，反之亦然。如果要求这些关系式 对于联合分布也成立，那就必须有尺度变换分布满足尺度变换信号的边缘，也就是丄 I S(W)Ci x /a aI2i +g Pa(t, w )dt =1 Sa(t) |2 = a I Sa(at) |2 g宀 Pa(t, W)dw=l Sa()12 =g4 时频分析的应用时频分析己经在非平稳信号处理中获得了十分广泛的应用。可以说，凡是平稳信号 的分析与处理中的典型应用问题，诸如信号检测与分类、滤波、信号的正交展开与综合、 系统辨
15、识和谱估计等。在非平稳信号分析与处理中都有着对应的问题，且时频联合分析 法较单纯时域、频域法在很多情况下具有明显优点。4.1 时频分析在工业生产中的应用工业生产中保证重要大型设备的安全运行是生产工作的重点，尤其是一些连续工 作，无法随时停机检修或是生产过程不允许中断的大型设备，例如大型发电设备、金属 冶炼设备、化工生产设备。在这些领域中，故障造成的损失往往不仅是经济损失，因此 对这些设备运行状态的实时检测是十分必要的。由于故障信号的发生时刻状态形式是无 法预知的，因此只有实时地分析设备的运新状态，监测异常状态产生的时刻、频率、幅 度等随机信号达到防止事故发生的目的。例如，电力系统发生故障后，其故障信号包含 大量的非基频暂态信号，而且故障暂态分量随着时刻、故障点位置、故障点过渡电阻以 及系统工况的不同而不同，它是一个非平稳的随机过程。如何快速的检测出故障时刻， 使电力系统保护装置启动，同时对故障信号进一步分析，确保保护装置正确处置。因此， 有必要寻找一种有效的时频分析工具进行电力故障信号检测和分析。小波变
