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1、抽屉原理教学设计实验小学 张红 胡必芳 汤小华 张祖凤 万承林【教学内容】:人教版义务教育课程标准实验教科书数学六年级(下册)第五单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。【教材分析】:“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题,如任意367名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境,介绍了一类较
2、简单的“抽屉原理”,即把m个物体任意分放进n个空抽屉里(mn,n是非0自然数),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题,学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验,放手让学生自主思考,先采用自己的方法进行“证明”,然后再进行交流,在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较,使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题,发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习,帮助学生加深理解,学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中,让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上,通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数
3、学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现学生数学思维和能力的重要方面。【学情分析】:抽屉原理是学生从未接触过的新知识,难以理解抽屉原理的真正含义,发现有相当多的学生他们自己提前先学了,在具体分的过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,
4、要用几个“抽屉”。1年龄特点:六年级学生既好动又内敛,教师一方面要适当引导,引发学生的学习兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解, 发挥学生学习的主体性。2思维特点:知识掌握上,六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少,尤其对于“数学证明”。因此,教师要耐心细致的引导,重在让学生经历知识的发生、发展和过程,而不是生搬硬套,只求结论,要让学生不知其然,更要知其所以然。【教学目标】:1知识与能力目标:经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,建立数学模型,发现规律。渗透“建模”
5、思想。2过程与方法目标:经历从具体到抽象的探究过程,提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3情感、态度与价值观目标:通过“抽屉原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】:经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。【教学难点】:理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学准备】:多媒体课件、书【设计理念】:1用具体的操作,将抽象变为直观。“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话对于学生而言,不仅说起来生涩拗口,而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢?我觉得要让学生充分的操作,一在具体操作中理解“总有”和“至少”
6、,二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作,最直观地呈现“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这种现象,让学生理解这句话。2充分发挥学生主动性,让学生在证明结论的过程中探究方法,总结规律。学生是学习的主动者,特别是这种原理的初步认识,不应该是教师牵着学生手去认识,而是创造条件,让学生自己去探索,发现。所以我认为应该提出问题,让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确,让学生初步经历“数学证明”的过程,逐步提高学生的逻辑思维能力。3适当把握教学要求。我们的教学不同于民间的培优机构,因此在教学中不需要求学生说理的严密性,也不需要学生确定过于抽象的“抽屉”和“物体”。【教学过程】:
7、一、游戏激趣,初步体验。设计意图:第一次与学生接触,在课前进行的游戏激趣,一使教师和学生进行自然的沟通交流;二激发学生的兴趣,引起探究的愿望;三为今天的探究埋下伏笔。在上课前,我们先热热身,一起玩抢椅子游戏好吗?谁愿意参加?请五位同学到前面来,这有四把椅子,老师说:开始!你们几个都要坐到椅子上。听明白了吗?好开始。告诉老师他们坐下了吗?老师不用看,就知道一定有一把椅子上至少做了两名同学。对吗?假设请这五位同学再反复坐几次,老师还敢肯定地说,不管怎么做,总有一把椅子上至少坐了两个同学,你们相信吗?其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理,想不想研究啊?二、操作探究,发现规律。(一)经历“抽屉原理”
8、的探究过程,理解原理。1自主猜想,初步感知。(提出问题)把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放,总有一个杯子至少放进()根小棒。让学生猜测“至少会是”几根?2验证结论。不管学生猜测的结论是什么,教师都必须要求学生借助实物进行操作,来验证结论。学生以小组为单位进行操作和交流时,教师深入了解学生操作情况,找出列举所有情况的学生。(1)先请列举所有情况的学生进行汇报,一说明列举的不同情况,二结合操作说明自己的结论。(教师根据学生的回答板书所有的情况)学生汇报完后,教师再利用枚举法的示意图,指出每种情况中都有几根小棒被放进了同一个杯子。设计意图:抽屉原理对于学生来说,比较抽象,特别是“总有一个杯子中至
9、少放进2根小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作,列举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子,理解“总有一个杯子”以及“至少2根”。让学生初步经历“数学证明”的过程,训练学生的逻辑思维能力。(2)提出问题。不用一一列举,想一想还有其它的方法来证明这个结论吗?学生汇报了自己的方法后,教师围绕假设法,组织学生展开讨论:为什么每个杯子里都要放1根小棒呢?请相互之间讨论一下。在讨论的基础上,教师小结:假如每个杯子放入一根小棒,剩下的一根还要放进一个杯子里,无论放在哪个杯子里,一定能找到一个杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能将小棒尽可能的分散,保证“至少”的情况。设计意图:鼓励学生积
10、极的自主探索,寻找不同的证明方法,在枚举法的基础上,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想。(3)初步观察规律。教师继续提问:如果把 6支铅笔放进5个文具盒里呢?还用摆吗?结果是否一样?怎样解释这一现象?(6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。)把7支铅笔放进6个文具盒里呢?把8枝笔放进7个盒子里呢?把9枝笔放进8个盒子里呢? 100支铅笔放进99个文具盒呢?教师引导学生进行比较:你发现什么?(笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。)师:你的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。设计意图:让学生在这个
11、连续的过程中初步感知方法的优劣,发展了学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。(二)进一步认识和理解“抽屉原理”。1数量积累,发现方法。出示第70页做一做,让学生运用简单的抽屉原理解决问题。在说理的过程中重点关注“余下的2只鸽子”如何分配?让学生进行自主学习活动(独立思考 自主探究),教师再结合课件进行演示:2深入探究,寻找规律。刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况,现在鸽子数比鸽舍要多2只,为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”?设计意图:从余数1到余数2,让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分,余下的数也要进行二次平均分。3发现规律,初步建模。我们将小棒、鸽子看做物体,杯子、鸽舍
12、看做抽屉,观察物体数和抽屉数,你发现了什么规律?(学生用自己的语言描述,只要大概意思正确即可)小结:只要物体数量比抽屉的数量多,总有一个抽屉至少放进2个物体。这就叫做抽屉原理。设计意图:通过对不同具体情况的判断,初步建立“物体”、“抽屉”的模型,发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去,所以请学生对课前的游戏的解释,也是一个建模的过程,让学生体会“抽屉”不一定是看得见,摸得着。(三)应用“抽屉原理”,感受数学的魅力。1看有关抽屉原理资料,让学生感受古代数学文化。“抽屉原理”又称“鸽巢原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,这一原理在解
13、决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。设计意图:让学生体会平常事中也有数学原理,有探究的成就感,激发对数学的热情。2抽屉原理的应用。(1)出示71页的例2:把5本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有7本书呢?9本书呢? (2)让学生独立思考、再小组内讨论:A、该如何解决这个问题呢?B、如何用一个式子表示呢?C、你又发现了什么规律?(3)汇报讨论结果,同时教师进行板书: 52=21 21=3(本) 72=31 31=4(本) 92=41 41=5(本)
14、(4)思考、讨论:总有一个抽屉至少放进的本数是“商1”还是“商余数”呢?为什么?设计意图:对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上,从“至少2个”得到“至少商+1个”的结论。师让学生讨论得出正确的结论:总有一个抽屉至少放进的本数是“商1”。3解决问题。(1)如果我们用数学书的本数除以抽屉数,所得的余数不是1,该怎么办呢?请看下面的题目。教师出示课本71页的“做一做”:8只鸽子飞回3个鸽舍,至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么?(2)在这道题中,可以把什么当作抽屉?可以把什么当作刚才的课本?让学生思考得出:8只 8本 3个 3个设计意图:在这一环节的教学中教师抓住了假设法最核心的思路
15、就是用“有余数除法”形式表示出来,使学生学生借助直观,很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里,看每个抽屉里能分到多少本书,余下的书不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”,而不是商加“余数”,教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论,使学生从本质上理解了“抽屉原理”。(3)学生独立完成解答。(四)进一步应用原理解决问题。(游戏)我这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?为什么?( 2张/因为54=11)教师可以先验证一下学生的猜测:举牌验证。如有3张同花色的,符合你们的猜