《线性代数性质公式整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数性质公式整理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数aa ,. a11121naa ,. a2122 .2naa ,. an1n2nn正号；当j/jn是奇排列时，第一章行列式一、相关概念a11 aa12a a1n a1.行列式n阶行列式.2122 .2n是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里jjjjn)an11，an2 2, a nn%1我n的一j2 *个排列。当应是偶排列时，该项的前面带该项的前面带负号，即(1.1)=Zj j .j (l)Tjij2“jna a aj1j2 jnji 匕 j2njn这里Zi i i表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 j1j2 jn2. 逆序与逆序数一一一个排
2、列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数 用Tj j - j表示排列j i - j的逆序 I 丁。 I jrr/u 口 丁廿口丁x。巾 Tj 方不、廿/。Ji J*?j 口 丁nn数。3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2阶与3阶行列式的展开= ad bc，a11a12a13aaa212223aaa313233= a11a22a33+a5.余子式与代数余子式一一在n阶行列式+ a13a21a32 a13a22a11a12 a 1na21a22. a2na n1an2 a nn1
3、2a23a31中划去a所在的第i行，第ja31 a12a21a33 a11a23a32a11a1,j1, ,a 1,j+1a”1n a. I1,1a.1+1,1.a11,j1a1+1,j1, ,a11,j+1a 1+1,j+1a. i11,na.1+1,n 称为a的余子式，记为Mj称(1)1+jM1ja1j 的代an1 a n,j1a n,j+1 a nn数余子式，记为Ajj，即 A.= 1j(1)1+jM1jO列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式A11 A12A 21A 22A n1A n26.伴随矩阵一一由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如1n2nn
4、n称为A的伴随矩阵，记作A*。二、行列式的性质1. 经过转置行列式的值不变，即AT2. 两行互换位置，行列式的值变号。一行列式行的性质与列的性质是对等的。地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3. 某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:a1+b1 a2+b2 a3+b3CCC123ddd123aaa123CCC123ddd123b1C1 d1b2C2 d2b3C3d35. 把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:aaa123bbb123CCC123aib1+ka1C1b2a2+ ka2C2b3a3+ ka
5、3C36.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式=ai1Ai1 + ai2Ai2 +- +ainAin = =1 L+anjAnj=Zn=iakjAkjn阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式AA四1. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积;2. 关于副对角线的n阶行列式的值A = （-1）nVa1na2,n_1an13. 两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则A*OB=OA=OB*B11x1x21x2x22 x nx2nXn-1
6、 1xn-12Xn-1 n4.范德蒙行列式A*A*=h5.抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）若A、B都是n阶矩ATA-1AA*=R；=A*A =(-1)mn A B(xi -xj)，A*是A的伴随矩阵，若A可逆， kA = kn|A ；|AB| = |A|B|；a | = nt1Ai ；E若AB，则 A =i（i=1，2,n）是A|的特征值:A2I=IaI2；H=lAr，且特征值相同。一般情况下：AB主A B 五、行列式的计算1. 数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）kj倍都加到同一列（行）。 逐行（或逐列）相加 利用范德蒙公
7、式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法一一验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 验证n=1和n=2时命题都正确，假设nk命题正确，证明n=k，命题正确。 对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2. 抽象型行列式一一通常与矩阵一起考，利用行列式的性质（倍加、提公因数k、拆项）等来 恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。利用单位矩阵E =AA1 =A1 A恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。3. 行列式|A|是否为0的判定若 A=a1，a2,an是 n 阶矩阵，那么行列式|A|=0 矩阵A不可逆秩r(A) 2)6. 方阵的幂 (Ak)i
8、= Aki，A kAi = Ak+i注意(AB)k = (AB)(AB)(AB)主 AkBk(A + B)k = A2 + AB + BA + B2 主 A2 + 2AB + B2(A + B)(A B)=A2 AB + BA B2主A2 B27. 特殊方阵的幂(求An) 若秩r(A) = 1，则A可以分解为两个矩阵的乘积，WA2 = 1A，从而An = lniA例如 P218 特殊的二项式展开(E + B)n 分块矩阵B Cn= Bn $ 特征值、特征向量、相似 简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设A是n阶矩阵： 单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成En或In 数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成入。A = diaga 1，a2，an 上（下）三角阵：当i 八i ；）时，有aij = 0的矩阵称为上（下）三角阵。 对称阵：满AT = A，即ai. = a.i的矩阵称为对称阵 反对称阵：满AT = A，即ai. = a .i， aii = 0的对称阵称为反对称阵。 正交阵：ATA = AAt = E的矩阵称为正交阵，即At =
