《导数恒成立问题---洛必达法则的妙用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数恒成立问题---洛必达法则的妙用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、洛必达法则 沈阳市第十一中学数学组赵拥权洛必达法则：设函数、满足:（1）；（）在内,和都存在,且;(3) (可为实数,也可以是).则.(可连环使用）注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导,求导之后再求极限得最值。运用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 将上面公式中的x,换成x,-，,洛必达法则也成立。洛必达法则可解决,，型。在着手求极限此前，一方面要检查与否满足,，,，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不合用，应从此外途径求极限。 若条件符合,洛必达法则可持续多次使用,直到求出
2、极限为止。1(全国2）设函数f(x)(x1)n(x1）,若对所有的0，均有f（)ax成立,求实数a的取值范畴令g()=(x1)ln()-a，对函数()求导数：g(）(x+）+1令（x)0,解得x=-1， 5分()当a时,对所有，g(x)0,因此g(x)在,)上是增函数,又(0)=0,因此对,均有()g(0），即当a1时，对于所有x0,均有 f()ax 分(ii）当时,对于0x-1，（x)0，因此g(x)在(0,ea-1-1）是减函数，又g(0)=，因此对0x，（)为增函数,当-1x0时 a(x1)ln(x1)x,gx=(x1)ln(x1)x,g(x)x-ln(x+1)x20 (x(0,+)由洛
3、必塔法则limx0+g（x）=limx0+x+1ln(x+1)limx0+x=limx0+(lnx+1+1)limx0+11 a12. 全国1理已知函数()设,讨论的单调性；()若对任意恒有,求的取值范畴.解法(一)(）当a2时，由()知:对任意x(0,)恒有f(x)f（)1.(）当2时， 取x= （0,)，则由()知f(0)f(0)()当a0时, 对任意(0，1)，恒有 1且e-a1,得 (x）=ea 1. 综上当且仅当a(-,2时,对任意x(,1)恒有f()1.解法（二)-aln1-x-ln(x+1)x,g()=ln1-x-ln(x+1)x，g(x）0 （x(0,+) （两次求导 ） 由洛
4、必塔法则:limx0+g(x)=limx0+(ex+e-x)limx0+1=24新课标理设函数=.()若,求的单调区间;(）若当x0时0,求a的取值范畴解法一:由（I)知，当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,，而，于是当时，.由可得.从而当时,故当时,而，于是当时,.综合得的取值范畴为.解法二:当时,即.当时,；当时,等价于.记 ，则记 ，则，当时，,因此在上单调递增，且，因此在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,因此当时，因此，因此.综上所述，当且时,成立.5.新课标文已知函数.(）若在时有极值,求函数的解析式；(）当时，,求的取值范畴.fx=x(ex-1-
5、ax)。令g(x)= ex-1-ax，则。若,则当时,，为减函数,而，从而当0时0,即.若,则当时，为减函数,而,从而当时0，即0 综合得的取值范畴为（）应用洛必达法则和导数当时，,即当时,;当时，等价于，也即.记，则.记，,则，因此在上单调递增，且，因此,从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时,因此,即有.综上所述，当，时，成立. 全国理设函数（）求的单调区间；（)如果对任何，均有，求的取值范畴令，则故当时,.又,因此当时，,即分当时，令,则故当时,.因此在上单调增长故当时，即.于是,当时，当时,有因此,的取值范畴是(）应用洛必达法则和导数若，则；若,则等价于,即则.记,因此,当时，,在上
6、单调递减，且，故，因此在上单调递减，而.另一方面,当时，因此.7 辽宁理设函数. 的单调区间和极值；与否存在实数，使得有关的不等式的解集为?若存在,求的取值范畴;若不存在,试阐明理由.)当时，由知,其中为正整数，且有.12分又时,.且取整数满足,且,则，即当时,有关的不等式的解集不是.综合（)()知,存在,使得有关的不等式的解集为,且的取值范畴为.(）故当时，,时，.因此在单调递增，在单调递减.由此知在的极大值为，没有极小值，f(x)a对一切 x(0,+)恒成立，因此只需fxmina，limx0fx=0,limx+f（x）=0的取值范畴为8. 全国大纲理设函数.(）证明：当时，；()设当时,，
7、求的取值范畴(）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若,则,不成立；当时,当时,即；若，则;若，则等价于，即.记，则.记,则，因此，在上单调递增,且，因此，即在上单调递增,且，因此.因此,因此在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，因此.综上所述,的取值范畴是.9. 新课标理已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值;（）如果当,且时,求的取值范畴.（）措施一:分类讨论、假设反证法由(）知,因此.考虑函数,则()当时，由知，当时,.由于,因此当时,可得;当时，可得,从而当且时,，即;(i)当时,由于当时,故,而，故当时，,可得,与题设矛盾.(ii）当时,而,故当时，可得，与题设矛盾
8、.综上可得,的取值范畴为.解法二：当，且时,，即,也即，记，,且则,记,则,从而在上单调递增，且,因此当时,，当时，；当时,，当时,，因此在上单调递减，在上单调递增由洛必达法则有 ，即当，且时，.由于恒成立，因此.综上所述，当,且时，成立，的取值范畴为.0.若不等式对于恒成立，求的取值范畴当时,原不等式等价于记，则.记,则.由于,，因此在上单调递减,且,因此在上单调递减,且.因此在上单调递减，且,故,因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，f(x)16,即有.故时,不等式对于恒成立.1.已知函数,其中,为自然对数的底数。（1）设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;（2)若，函数在区间内有
9、零点,求的取值范畴由，因此(x)=ex-ax2-e-a-1x-1函数在区间内有零点,分离变量可得a=ex-e-1x-1x2-x在（0,1）上有解令g(x） ex-e-1x-1x2-x 求导可得函数子(0，）单调递增，由洛必达法则有limx0+g(x)=limx0+ex-(e-1)2x-1=2-e,同理limx1-gx=1的取值范畴为12 已知函数。（）设a=1,讨论的单调性；（2）若对任意，,求实数a的取值范畴解法一：（)由已知,由于,因此.(1）当时,.不合题意 ()当时,，由，可得设，则,.设,方程的鉴别式.若,，,在上是增函数,又，因此，. 若，,，因此存在，使得，对任意,在上是减函数,
10、又，因此,.不合题意综上，实数的取值范畴是.解法二：对任意, 1a2(x-1)x+1lnx 令gx=2(x-1)x+1lnx gx=4lnx-2x+2x(x+1lnx)2,h()= 4lnx-2x+2x在(，1)单调递减hxh1=0g(x）在(0,1)单调递增,由洛必达法则limx1-gx=limx1-2(x-1)limx1-x+1lnx =limx1-2limx1-(2lnx+1+1x)=1因此1a1即a13. 设函数,曲线过点,且在点处的切线方程为.(）求,的值；（)证明：当时，；（）若当时，恒成立,求实数的取值范畴解法一：设,求得，由()知,，, 当,即时,在单调递增，成立;当，即时,求
11、得,令，得,当时，,在上单调递减，,不成立.综上所诉，. 解法二：（1)x=1时,mR（2)mf(x)(x-1)2 ,g(x) f(x)(x-1)2x(1,+) g(x)0(两次求导运用到x-1lnx）(1,+)上g（)单调递增，由洛必达法则limx1gx=32m32 14.已知函数,（1） 求证：；（2） 若在上恒成立,求的最大值与的最小值.解法一：当时，“”等价于“”； “”等价于“”，令，则当时，对任意恒成立。当时,由于对任意，因此在区间上单调递减，从而对任意恒成立。当时,存在唯一的使得与在区间上的状况如下:0由于在区间上是增函数，因此,进一步，“对任意恒成立”当且仅当,即综上所述,当且仅当时，对任意恒成立;当且仅当时，对任意恒成立。因此,若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为.解法二:令gx=sinxx ，gx=xcosx-sinxx2 ,
