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1、二项式定理及典型试题知识点一：二项式定理二项式定理:;宀 VI 宀；，y ;-i 公式右边的多项式叫做；+ ；|的二项展开式; 展开式中各项的系数；T 叫做二项式系数； 式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用 ? +表示；二项展开式的通项公式为知识点二：二项展开式的特性 项数：有n+1项； 次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式； 各项组成：从左到右，字母a降幕排列，从n到0;字母b升幕排列，从0到n；d1 - r* 系数：依次为知识点三：二项式系数的性质 对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，
2、在中间取得最大值其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展M-lS+1开式中间两项的二项式系数，相等，且最大 二项式系数之和为 :，即-匚其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，+W +空4=严1经典例题1、“ （a b）n展开式例1求（3、. x 1 ）4的展开式;解：原式=4(3x 1)104= 7C4(3x)32C4（3x）。4（血）C4（3x）C2 12 1=81x84x254x x【练习1】求(3Ux )4的展开式例2.已知在 （3、x的展开式中，第Vx6项为常数项(1) 求n； (2)求含x2的项的系数；(3)求展开
3、式中所有的有理项n 彳 r解: (1)通项为 Tr , C；x( -)rx 2n 2r因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0,即n=10.3(2) 令10 2r=2，得r 2所以所求的系数为 C-0( -)2 45.32410 2r(3) 根据通项公式，由题意一3 Z30 r 10, r Z10 2r3k令k(k Z)，则r 5 ，故k可以取2,0, 2，即r可以取2，5, 8.32所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为G：(丄)2x2,C；0()5,G80( !)8x2【练习2】若(.X展开式中前三项系数成等差数列2 2 2.求:(1 )展开式中含x的一次幕的项；(2)展开式中所有
4、x的有理项.例3.已知(3x x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x 1)n的展开式的二项式系数和大1992，求(2x -)2n的展开式中：(1 )二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项 (先 x看例9).解：由题意知，22n 2n 992，所以2n 32，解得n=5.(1) (1)由二项式系数性质，(2x丄)10的展开式中第6项的二项式系数最x大 Te G0(2x)5( I)58064.x(2) 设第r 1项的系数的绝对值最大，TTr 1 C；0(2x)10r ( 1)r ( 1)r210rG；x102rxG；2C；。12C；0 Cw1，即11 r2(r 1)2r10，解得-r31
5、1r .3Tr Z, r 3，故系数的绝对值最大的项是第4 项，T4Cw2415360x .10:练习3已知(、.x-2r)n(nN*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是X1.3(1)求展开式中含X2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项4、求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数例4.( x2 1)(X 2)7的展开式中，X3项的系数是解：在展开式中，X的来源有:第一个因式中取出，则第二个因式必出6 6X，其系数为C7( 2)；第一个因式中取出则第二个因式中必出34X，其系数为C7(2)42)6 c7( 2)41008,填 1008。解：(X(X 1)23X，该式展开后
6、常数项只有一项Xc6x3( 1)3a，即3-X的系数应为： C7(5、求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数12)3的展开式中，常数项是例5( 04安徽改编)(x -206、求中间项例6求(J10的展开式的中间项;解：T1 rC；0( X)10r,展开式的中间项为 5当n为奇数时，(ab)n的展开式的中间项是 C1CM%) 3)吋X12和C即:5252x。当n为偶数时，(ab)n的展开式的中间项是C2a2b2。7、有理项例7 (VX 3)的展开式中有理项共有Vx项;解:Tr1 。；0(汀)101当r 0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是
7、整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时，那么 这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项(1) 特殊的系数最大或最小问题例8 (00上海)在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ;解：Tr1 CM11 1)r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使 C；为最大，由此得r 5，从5而可知最小项的系数为c(1)5462般的系数最大或最小问题Tr解：记第rC81.2r例9求(、.x8展开式中系数最大的项;r项系数为，设第k项系数最大,1，那么有则有kC8C.21.2k 2.28k.28即尸8!8!(K 1)!.(9K)!(K 2)!
8、.(10 K)! 8!-2K!(8K)!1K129K2K21K解得3系数最大的项为第3项Ta 7x和第4项T4(3) 系数绝对值最大的项例10在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是2004(1 2) a。a1a2解：求系数绝对最大问题都可以将“(a b)n ”型转化为(a b)n型来处理,9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和例11 .若(2x3)4 a ax a223x asX4a4X ,则(a0 a2a。)2(da3)2的值为解:(2x3)42aqxa?x3asXa44x令 x1 ,有(2.3)4 ac)a1 a2a3a4令 x1,有(23)(a a2a4) (a
9、1a3)故原式=(a0 a1 aI? a3 a4 )(a0屯a。)(a1a3)=(23)4.(2. 3)4=( 1)41【练习1】若(120042x)a0a1x2a?x. 2004x2004 ,则(a。 aj(a 0a2 ). (a0a2004 )q解2004(1 2x)aa1 xa2x2 . 2OO4x2004,令 x 1,有故此答案为第4项c；x3y4，和第5项cys。a 2004令x 0，有(1 0)2004 a01故原=(a0a1a2.a2004 )2003a0 = 120032004【练习2设(2x 1)6 a6x6 a5x5a1xa，贝U a。 a1a2a6解：Tr1 C；(2x)
10、6r(1)r a0a1a2 |a a0a1a? a 3 a 4=(a。a2a4a6)(a1a3a5)=110、利用二项式定理求近似值例15.求0.9986的近似值，使误差小于0.001 ；分析:因为 0.9986 = (1 0.002)6，故可以用二项式定理展开计算。解：6 60.998 =(10.002) =16.(0.002)1 215.( 0.002).6.(0.002)玄5222T3 c6.( 0.002)215 ( 0.002)20.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。0.9986 = (1 0.002)61 6 ( 0.
11、002)=1 0.012 0.98812n小结：由(1 x)n1 Cn x Cn x2. C n xn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,.xn等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式：(1 x)n 1 nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1 x)n1 nx n(n 1)x2。2新课标人教版排列、组合与二项式定理(选修 2- 3)注意事项：1 .本试题分为第I卷和第n卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2 答第I卷前务必将自己的姓名、考号、考试
12、科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3. 第I卷每题选出答案后， 都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD )涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。、选择题：本大题共 16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.r1. （ 08年上海卷12）组合数Cn （ n r 1, n、r Z）恒等于（）r+1r-1r-1r-1n r-1A. n+7Cn-1B. （n+1）（r+1）Cn-1 C nr Cn-1D. 7Cn-12. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前 5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（）A. 40B.74C.84D.2003. 以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有（）A. 18 个B.15个C.12个D.9 个4. 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（）A . 512B. 968C. 1013D. 10245. 如果（x x.X）n的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是（）68574668A. C10XB. C10x、一 xC. C8 xD. C11x x6.
