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1、最新数学高考复习资料专题能力测评(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1(2013济南模拟)若k，1，b三个数成等差数列，则直线ykxb经过的定点坐标为 _.解析依题意，kb2，b2k，ykxbk(x1)2，直线yk(x1)2必过定点(1，2)答案(1，2)2(2013江苏)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析双曲线1的渐近线方程为0，即yx.答案yx3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A、B两点，则弦AB的长等于 _.解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离为d1，则2r2d222123.|AB|2.答案24若抛物线
2、y22px的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为_解析y22px的焦点F.p2，准线l：x1.答案x15(2013北京改编)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为 _.解析由e，知ca，得ba.渐近线方程yx，yx.答案yx6(2013四川改编)抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是 _.解析抛物线y28x的焦点为F(2,0)，由点到直线的距离公式得F(2,0)到直线xy0的距离d1.答案17若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是 _.解析设圆心为(a,0)(a0)，则r，解得a5，故所求圆的方程为(x5)2y25.答案(x5)2y258已知点M(，0)
3、，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为 _.解析因为直线过椭圆的左焦点(，0)，所以ABM的周长为|AB|AM|BM|4a8.答案89(2013陕西)双曲线1的离心率为，则m等于_解析由题意得c，所以，解得m9.答案910(2013皖南八校联考)双曲线1(m0，n0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24mx的焦点重合，则n的值为 _.解析抛物线焦点F(m,0)为双曲线的一个焦点，mnm2.又双曲线离心率为2，14，即n3m.所以4mm2，可得m4，n12.答案1211(2013新课标全国改编)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径
4、的圆过点(0,2)，则C的方程为 _.解析由抛物线C：y22px，知焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，依题意，0，即y028y0160，y04，则M，由|MF|5，得21625(p0)，p2或p8.抛物线方程为y24x或y216x.答案y24x或y216x12(2013启东模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析当ABl1，且ABl2时，l1与l2间的距离最大又kAB2，直线l1的斜率k，则l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案x2y3013(2013福建改编)双曲线y21的顶点到其
5、渐近线的距离等于_解析由y21知顶点(2,0)，渐近线x2y0，顶点到渐近线的距离d.答案14(2013青岛质检)P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是_解析由，设Q(x，y)，又22，.又点P在椭圆1上，1.答案1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2y22mx2y4m40.(mR)(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，2)的直线方程解圆C的方程(xm)2(y1)2(m2)21，(1)当m2时，圆的
6、半径有最小值1，此时圆的面积最小(2)当m2时，圆的方程为(x2)2(y1)21，设所求的直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，由直线与圆相切，得1，k，所以切线方程为y2(x1)，即4x3y100，又因为过点(1，2)的直线x1与圆相切，满足题意，所以切线的方程为x1或4x3y100.16(本小题满分14分)(2013安徽)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上(1)解因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a21，
7、解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P.直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得y02x02(2a21)，将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限解得x0a2，y01a2.即点P在定直线xy1上17(本小题满分14分)如图所示，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1,0)，点A在椭圆上(1)求椭圆方程；(2)点M(x0，y0)在圆x2y2b2上，点M在第一
8、象限，过点M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P、Q两点，问|是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由解(1)由右焦点为F2(1,0)，可知c1.设左焦点为F1，则F1(1,0)，又点A在椭圆上，则2a|AF1|AF2|4，a2，b，即椭圆方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1(|x1|2)，|PF2|2(x11)2y12(x11)23(x14)2，|PF2|(4x1)2x1.连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2|OP|2|OM|2x12y123x1233x12，显然x10，|PM|x1.|PF2|PM|22.同理|QF2|QM|22.|224为定值18(本小题满
9、分16分)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线y上因为抛物线C的准线方程为y，所以，即p1.因此抛物线C的方程为x22y.(2)假设存在点M(x00)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y|xx0|xx0x0，所以直线MQ的方程为yx0(xx0)令y得xQ.所以Q.又|QM|OQ|，故222.因此
10、2.又x00，所以x0，此时M(，1)故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M. 19(本小题满分16分)(2013重庆)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外若PQPQ，求圆Q的标准方程解(1)由题意知点A(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(x
11、x0)2y2x22x0xx028(x2x0)2x028(x4,4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x02.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y120.由椭圆方程及x12x0得x1280，解得x1，x0.从而|QP|28x02.故这样的圆有两个，其标准方程分别为2y2，2y2.20(本小题满分16分)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x24y的焦点(1)求椭圆方程；(2)
12、若直线yx1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求OMN面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意设椭圆方程为：1(ab0)，因为抛物线x24y的焦点为(0,1)，所以b1.由离心率e，a2b2c2解得a，b1，c1，椭圆方程为y21.(2)由解得所以A点的坐标为(2,1)因为抛物线的准线方程为y1，所以圆的半径r1(1)2，所以圆的方程为(x2)2(y1)24.(3)设直线MN方程为yxm，由得3x24mx2m220.由判别式16m212(2m22)0，解得m.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，所以|MN|，原点O到直线MN的距离d，S|MN|d(m23m2).当且仅当m23m2即m时等号成立，所以三角形OMN面积的最大值为.
