《微分流形第2章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分流形第2章（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章微分流形 2.1微分流形2.1. A拓扑流形定义.拓扑空间M称为m维拓扑流形，若(1) M是Hausdorff空间(即它满足分离公理T )；(2) M是局部m维欧氏空间：M的每一点p有一邻域U ,同胚于隈m的一个开子集:平:U T 甲(U) uIRm。U称为M的坐标邻域；(U,中)称为M的坐标卡(chart)。由点p的任意性，全体坐标邻域 组成M的开覆盖。逻辑证明与计算是数学结论赖以成立的基础，必须高度重视。另一种需要培养的是观察能力。 直观被告诫是靠不住的，因为通过直观得到的是表面现象，而且往往提供的是假象与错觉。但是 它更多提供的是思路和有价值的线索。创造性思维应该是观察与逻辑推理的
2、合理结合。没有观察 的逻辑推理常常陷入无源之水”与无本之木”的困境。初等教程中我们熟悉的一些例子是拓扑流形。我们更多的是观察与分析。连证明也是通过观 察与分析酝酿出来的。例1。平面解析几何中的椭圆、双曲线和抛物线都是一维拓扑流形。运用初等方法不难 证明，这些曲线在每一点附近的充分小的一段，都与一个实数开区间同胚。例2。自交的曲线不是一维拓扑流形。问题出在自交点上。无论怎样小邻域，都不能与 一个实数开区间同胚。用反证法。如果同胚的话，挖去该点及其像点，剩下部分的连通分 支数是不一样的。自交曲线的例子有相交直线、双扭线、三叶玫瑰线等等，直角坐标或极 坐标方程分别为：X2 - y2 = 0; r2
3、= a2 cos 2平； r - a sin 3平。例3。空间解析几何中的椭圆面、单叶双曲面、双叶双曲面、双曲抛物面等都是二维拓 扑流形。这些曲面在每一点附近的充分小的一块，都与平面上的一个开圆同胚。例4。锥面Z = x2 + y2不是二维拓扑流形。问题出在原点。上。锥面在原点0附近无 论怎样小的一块，都不可能与平面上的一个开圆同胚。证明用反证法与连通性。例5。用两种不同方法粘接矩形的一对对边，得到柱面和Mdbius带。去掉另外两条边 的开柱面和开Mdbius带是二维拓扑流形。否则不是，问题出在未被粘接的边界点上。例6。用不同方法粘接矩形的两对对边，分别得到的环面T2、Klein瓶和射影平面P
4、， 都是二维拓扑流形。2.1. B局部坐标函数与迭置映射取取m的基5 及对偶基5 J 。当点q属于U，它的像中(q)属于Rm，故可展为: i平(q)二公i(甲(q)有乙i(q)5 ,iii =1i=1其中xM&。中:U rR为连续函数，称为u的局部坐标函数。今后使用符按照微积分的传统惯例，x，既表示坐标函数关系， 示为(U,甲，xk)或(U, xk)。设申叩)也是q处的坐标卡，决定q处的另外m个局部坐标函数y1(q),., ym(q):y， 8，。甲:V - M。由此得q附近的坐标变换，称为迭置映射：V。中t 叩(U cV) rw (U cV), (xi,., xm)1(yi,., ym)；y
5、，= h，(xi,., xm) h，(x), (，= 1,.,m).这是朕m的开集之间的一个同胚，(因甲,V都是同胚)。迭置映射的逆也是迭置映射：曾w T :w (U c V) *(U c V),(y1,., ym) (x1,., xm);x， g，(y1,., ym) g，(y), (， 1,.,m).号 x， x，(q)；又表示坐标函数的取值。坐标卡有时表迭置映射(坐标变换)迭置映射反映欧氏空间的小块粘合为流形的局部方式，是局部到整体过渡的基本环节。当 它不仅是同胚，而且是微分同胚时，拓扑流形就成为微分流形。2.1. C微分流形定义：拓扑流形M的两个坐标卡(U, 9)，(V ,w)称为Cr
6、相容的，若迭置映射h，, gj 都是Cr的，(即迭置映射是Cr同胚)。当U c V 0，仍称二者Cr相容。定义：m维拓扑流形M的一族坐标卡A (U a, 9a )： a e J称为一个Cr微分构造， 若满足条件(r 1):(1) 覆盖性：U/ a e J覆盖M ；(2) 相容性：A中任二个坐标卡Cr相容；(3) 极大性：与A中任一个坐标卡Cr相容的坐标卡一定在A中。(M, A)称为m维Cr流形，简称光滑流形。当迭置映射为解析同胚，称为解析流形，或很 流形。只满足覆盖性与相容性的一族坐标卡匕称为一个地图册(atlas)。与地图册匕 相容 的卡称为容许坐标卡(admissible chart)。不
7、难证明，对给定的地图册A0，存在唯一的极大地 图册A，包含匕:A刀A0。或者说，任一地图册可用唯一方式扩充为极大地图册(即 微分构造)。因此在验证一个拓扑空间是否为一个Cr微分流形时，只需验证：(1)分离公理T ,(是否为Hausdorff空间)；2(2)坐标卡集的覆盖性与Cr相容性(不要求极大性)。实际背景：航海家使用海图(chart)。一张海图不能描述整个地球表面，需要一个覆盖全球的 地图册(atlas)。同一地区可能出现在两张地图中；由于投影的局限性，它在两张地图中的形状可 能有差别，但应该是合理的差别。也就是说，两张地图应该相容。流形论中的基本名词chart与 atlas来源于此种背景
8、。例1。Ktm。一个坐标卡(U,9 U ) = (Rm, idU )。欧氏空间虹是m维解析流形。例2.。圆周S1 = (xi, x 2) e 2:( xi)2 + (x 2)2 =1；是摩的有界闭集，故为紧集。它是股2的拓扑子空间，故满足可数公理A与分离公理T (为Hausdorff空间)。考虑坐标卡:2一U = (xi,尤2) e S1:尤20;1U = (xi,x2) e S1: x2 0； 2V = (xi,x2) e Si: xi0;iV = (xi,x2) e Si: xi 0;29 (x) = xi;Ui9u (x) = x1;9 (x) = x 2;V19 (x) = x 2.验
9、证其中一对的解析相容性，其余类似。对于U c V = S1 C 第一象限:迭置映射9；U i9 (U cV) = xi e (0,i); 9 (U cV) = x2 e (0,i) uii iv i i=9。9-1: (0,1) (0,1)及其逆由下列公式给出，它们都是解析的: 匕Uix 2 =9 (xi) = %：1 - (xi)2; xi =9-1 (x 2) =9 (x 2)=疽 1 - (x 2)2。WwU1V1由此，圆周S1是紧致的1维解析流形。例3。球面S 2。设(& 1, & 2, & 3)是R3的直角坐标，定义：S 2 = (& 1, & 2, & 3) eR3 I f (&
10、1, & 2, & 3)三(& 1)2 +(& 2)2 +(& 3)2 = 1。f :唉TR连续，故S 2 = f -1(1 )是财的闭集；它显然有界，故为紧集。作为R3的拓扑 子空间，s2满足可数公理气与分离公理T2。考虑两个穿孔球面：U = S2-(0,0,1),U = S2-(0,0,-1)，+-它们构成S2的开覆盖。利用球极投影(stereographic projection)球极投影建造两个解析相容的坐标卡。设(xi,x2)为赤 道平面上的坐标；xi, x 2轴与& 1, & 2轴重合。以北极N = (0,0,1)为投影中心，球面上一点P = (&1, & 2, & 3)的像 P=
11、9 + (P)是 NP 或者其 延长线与赤道平面的交点；北半球的点映到赤 道圆外，南半球的点映到赤道圆内。不难算出:9 :U T%,(&1, & 2,&3)1 (x1, X2) (&1, & 2);1-&39-12 T U ,(X1, X2) f 1, & 2, & 3) -(2 X1,2X 2，( X1)2 - (X 2)2-1).(X1)2 + (X 2)2 + 1类似地以南极S = (0,0, -1)为投影中心，球面点P的象P = (P)是SP或其延线与赤道 平面的交点。与前相反，北半球的点映到赤道圆内，南半球的点映到赤道圆外。同理算出:中：U T 隗 2,(&, & 2,&3)I(y1
12、, y 2) = 1-1- (& 1, & 2);(yi)2 + ( y 2)2 +1:隈2 tU ,(y1,y2)l(&,&2,&3) =(2y12y21-(y1)2-(y2)2)迭置映射(坐标变换)是解析函数，故(U-,), (U ,中)C相容:(y1, y2) = /、，、(口2)；(%1)2 + ( X 2)2(X1,X2) = /、/、(y1,y2);(yi)2 + ( y 2)2其中岭=代2-(0,0)为穿孔平面。复数形式更简单。令Z 5 +赤,w = y1 +沪，则:中-。町：w=含=I;甲。甲-1:I = w =;+-I w |2 w是关于单位圆的反演，满足I ZW 1=1。总
13、之，球面S2是紧致的2维解析流形。例4。积流形。设M, N分别为m,n维微分流形。则M x N是m + n维微分流形。由拓扑学，若M, N是Hausdorff空间，则M x N是Hausdorff空间。M x N的微分构造由坐标卡(U x V,中xw)决定，其中(U&)，(V,W)分别为M, N的坐标卡，积映射定义为:中 xw : U x V T 中(U) xw (V)全(中 xw )(U x V), (p, q) I (中(p),w (q) e 股m+n ;特别，环面T 2 = S1 x S ； n环面Tn = S 1x.x S1分别是紧致的2维与2n维解析流形。例5。开子流形。设(M, A
14、 )是一个m维Cr流形。设N是M的一个开子集。则N仍 是m维Cr流形。事实上，由M的坐标卡(U,中)，可得N的坐标卡(U c N, 1心)，其 全体产生的m维Cr流形构造。全体k x k非退化实矩阵在矩阵乘法下构成一个群，称为一般线性群，记为GL(k假)。 我们证明它有流形构造。事实上，给kxk实矩阵A的变元一个确定的排序，则可将A看成 一个k 2维向量。考虑连续函数f : Rk2 tr, f (A) = det A。则GL (k ,R) = f -1(隈-0)，是技k 2的开子集，因而是股k 2的开子流形；从而GL (k，取)是 k 2维光滑流形。2.2商流形由已知的流形生成新的流形，常见的
15、手段是子流形，积流形和商流形。积流形已如上述。开 子流形比较简单，坐标卡可从原空间继承。圆周和球面是闭子流形，坐标卡的制作就不显然。一 般情形下子流形的讨论与分类，内容丰富，后面将进一步介绍。下面研究商流形，它的制作分三 个层面：集合论，拓扑构造，微分构造。我们将通过详细构造射影空间，来说明原则和方法。商集合。设X为一集合，其中定义了一个等价关系(满足反身性，对称性，传递性)。则有点x的等价类：无=x = y g X I y x。以全体x为元素的集合称为商集合，记为X。X的元素y到它所属的等价类的映射兀称 为自然投射：兀：X X/；兀(y) = x，若x。显然自然投射兀为满射。商拓扑。设(X,T3为拓扑空间。X：的子集U定义为开集，若K-1(U)是X的开集。 容易证明：匕=U u X：I K-1(U) g T满足开集三公理，是X：的一个拓扑，称为“相对于等价关系而言”的商拓扑。因此在
