《2018年高考数学二轮复习考前专题五立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法讲学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学二轮复习考前专题五立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法讲学案理（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲 立体几何中的向量方法L考情考向分析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确 计算上n热点分类突破热占一八、八、利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为 a= (a1 , b1 , C1),平面a , 3的法向量分别为= (a2,b2 , C2), V=(a3,b3, C3)，则有:(1)线面平行l / a ?a丄口 ? a = 0? a1a2+ bb + C1 C2= 0.(2)线面垂直l 丄 a ? a /? a= k? a1= ka2 , b= kb2 , C1
2、= kC2(3)面面平行 *a / 3 ? v? 卩=入 v? a2=入 a3 , b2=入 b3 , C2=入C3.(4)面面垂直b2b3 + C2C3= 0.a丄3 ?卩丄V?卩 V = 0?例1如图，在直三棱柱 ADE- BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点 M为 AB的中点，点 O为DF的中点.运用向量方法证明:(1) 0M 平面 BCF平面MDIF平面EFCD证明方法一 (1)由题意，得AB AD, AE两两垂直，以点 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则A(0,0,0),B(i, 0,0) , qi,i,o), qo,i,o),F(1,0,
3、1), M1 , 0 , 0 ,。2 , T, ,.0M= 0, - 2 ,1 , BA= ( - 1,0,0), OlM- BA= 0, SlVL匪棱柱 AD BCF是直三棱柱, AB丄平面BCF - BA是平面BCF的一个法向量,且OIM平面BCF OM平面BCF(2)设平面 MDF与平面EFCD勺一个法向量分别为ni = (xi，yi，zi),n2=(X2, y2,Z2).tDF= (1 , - 1,1) , DM= 2，- 1，0 , DC= (1,0,0) , CF= (0 ,1,1),ni - DF= 0, 由 Tm DM= 0,*1 y1 + 乙=0, 得12X1 y1= 0,令
4、 X1 = 1,贝U n1 = 1, 2，n1 - n2= 0，平面 MD丄平面EFCDT T T T 1T T 1 T 万法二 (1) OIM= OR FB+ BM= ?DF BF+ 二 BA=2(瞄函BF+ BA 2BD-2T+2(BC BA 1BF+ 2A同理可得n2= (0,1,1).1 T2BF向量6M与向量BF,目共|面又OM平面BCF - OM平面BCFi -、由题意知，BF, BC BA两两垂直,T 厶/T/ CD= E3A FC= E3C- E3F,OM FC= OlM- CD=-BA= 0,BC +OML CD OML FC,又 Cm FC= C, CD FC?平面 EFC
5、DOML平面 EFCD#又0M平面MDF：平面 MDB_平面EFCD思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a/ b,只需证明向量b（入 R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.跟踪演练1如图，在底面是矩形的四棱锥面ABCD点E, F分别是PC PD的中点,（1）求证：EF/平面PAB求证：平面PADL平面PDCPA= AB= 1, BC= 2.i ABCDh PA!底,D(0,2,0), R0,0,1).证明（1）
6、以点A为原点，AB所在直线为0,EF=x轴，AD所在直线为0 , AB= (1,0,0). EF=- 2Ab EF/ AB 即 EF/ ABJyL *又AB?平面PAB EF?平面PAB EF/平面 PAB 由(1)可知，Pb= (1,0 , - 1) , PD= (0,2 , - 1),辰(0,0,1) , AD= (0,2,0) , DC= (1,0,0),/AiP- 6C= (0,0,1) (1,0,0) = 0 ,AD- DC= (0,2,0) (1,0,0) = 0 , API DC XDh DC,即 API DC ADL DC 又 APA AD= A, AP, AC?平面 PAD
7、DC!平面 PAD/ DC?平面 PDC平面PAD平面PDC热点二利用空间向量求空间角设直线I ,m的方向向量分别为a=(ai,bi,ci),b= (a2,b2,C2).平面a , 3的法向量分别为卩=(a3, b3, C3), v= (a4, b4, C4)(以下相同).(1)线线夹角设I , m的夹角为9 0 0,则cosI a b| =I a| b| =aia2 bib2 C1C2afb；C2 a；bfc| (2)线面夹角设直线I与平面a的夹角为0 OW 0 W ,nrI a a I则 sin 0 = |cos a, a|.1 a|1 a 1(3)二面角设a a 3的平面角为0 (0 w
8、 0 w -),则 |cos| a v| _| a | v|例 2 在三棱柱 ABC- ABC 中，AB丄平面 BCCB, / BCO*, AB= BC= 2, BB= 4，点 D在3棱CC上，且CD=入CC(0因为二面角a BD- a的平面角为n,所以 | cos m, n| =丨mn1 =imi n|5 4入 5 4入:X+1 X 1 + 2X0 .3- . 35 4 入 222帀广1+ L故入的值为1.思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系;求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论.(2)求空间角注意：两条异面直线所
9、成的角a不一定是直线的方向向量的夹角3 ,即COSa = |COS 3 | ；两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的 补角；直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对 值，注意函数名称的变化.跟踪演练2 如图，在四棱锥 S ABCDh SD丄平面ABCD四边形 ABCD 是直角梯形，/ ADC=/ DAB= 90, SD= AD= AB= 2, DC= 1.(1) 求二面角S- BC A的余弦值； 设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正 弦值为I6,求线段CP的长.解 以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D
10、xyz，贝U D(0,0,0) , B(2,2,0),qo,1,o), S(0,0,2),所以 SB= (2,2 , - 2) , SC= (0,1，- 2) , DS= (0,0,2)设平面SBC的法向量为n1= (x, y, z),由 n SB= 0, n SC= 0 ,得 2x + 2y- 2z= 0 且 y 2z = 0.取 z= 1,得 x=- 1 , y = 2 ,所以n1 = ( - 1,2,1)是平面SBC勺一个法向量.因为SDL平面ABC取平面 ABC的一个法向量 压=(0,0,1) 设二面角S- BC- A的大小为0 ,所以|cos| n1n| =吐卫 0 | = |门帅
11、2|=一6 = 6 ,由图可知二面角 S- BC- A为锐二面角,所以二面角S- BC- A的余弦值为6.6 由(1)知，E(1,0,1),则 CB= (2,1,0) , CE= (1 , - 1,1). 设CP=入 CB0 入 W 1),则 CP=入(2,1,0)= (2 入，入，0),所以 PE= CE- CP= (1 - 2 入，一1入，1).易知CDL平面SAD所以CD= (0, - 1,0)是平面SAD勺一个法向量.设PE与平面SAD所成的角为a ,所以 sin a = |cos PE Sb |i PE- Sb _入 +1i pEi sd5 入 $-2 入 + 3等，得入=3或入=#舍）-所以 sp= 3,3，0，i sp，所以线段CP的长为身.3热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结
