《求二次函数解析式_综合题_练习+答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《求二次函数解析式_综合题_练习+答案(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2014超越辅导求二次函数解析式:综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(1,0),并经过M(0,1),求抛物线的解析式分析: 本题可以利用抛物线的一般式来求解,但因A(-1,0)、B(1,0)是抛物线与x轴的交点,因此有更简捷的解法如果抛物线yax2bxc与x轴(即y=0)有交点(x1,0),(x2,0)那么显然有x1、x2是一元二次方程ax2bxc=0的两个根因此,有ax2+bxc=a(x-x1)(x-x2)抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式对于本例利用两根式来解则更为方便解: 抛物线
2、与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)设抛物线的解析式为ya(x1)(x-1)又抛物线过M(0,1),将x=0,y=1代入上式,解得a=-1函数解析式为y=-x21说明:一般地,对于求二次函数解析式的问题,可以小结如下:三项条件确定二次函数;求二次函数解析式的一般方法是待定系数法;二次函数的解析式有三种形式:究竟选用哪种形式,要根据具体条件来决定例2 由右边图象写出二次函数的解析式分析:看图时要注意特殊点例如顶点,图象与坐标轴的交点解:由图象知抛物线对称轴x=-1,顶点坐标(-1,2),过原点(0,0)或过点(-2,0)设解析式为y=a(x1)2+2过原点(0,0),a2=0,a=-2故解析式
3、为y=-2(x+1)2+2,即y=-2x2-4x说明:已知顶点坐标可以设顶点式本题也可设成一般式y=ax2+bxc,过顶点(-1,2)和过原点(0,0),本题还可以用过点(0,0),(-2,0)而设解析式为y=a(x+2)x再将顶点坐标(1,2)代入求出a例3 根据下列条件求二次函数解析式(1)若函数有最小值-8,且abc=12(-3)(2)若函数有最大值2,且过点A(-1,0)、B(3,0)(3)若函数当x-2时y随x增大而增大(x-2时,y随x增大而减小),且图象过点(2,4)在y轴上截距为-2分析:(1)由abc=12(-3)可将三个待定系数转化为求一个k即设a=k,b=2k,c=-3k
4、(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1,2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2解:(1)设y=ax2bx+c abc=12(-3)设a=k,b=2k,c=-3k 有最小值-8解析式y=2x2+4x-6(2)图象过点A(-1,0)、B(3,0),A、B两点均在x轴上,由对称性得对称轴为x=1又函数有最大值2,顶点坐标为(1,2),设解析式为y=a(x-1)22(3)函数当x-2时y随x增大而增大,当x-2时y随x增大而减小对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n过点(2,4)在y轴上截距为-2,即过点(0,-2)说明:题(3)也可设成y=ax2bxc,得:题(2)充分利用对称性可简化计算例4 已知
5、抛物线y=ax2bxc与x轴相交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此抛物线的解析式分析:此例题给出了三个条件,但实际上要看到此题还有隐含条件,如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A(1,0),因此可以把问题的条件又充实了,又如已知顶点M到x轴的距离为2,对称轴为x=-1,因此又可以找顶点坐标为(-1,2),故可利用顶点坐标式求出函数的解析式,此题的解法不唯一,下面分别介绍几种解法解法(一):抛物线的对称轴是x=-1,顶点M到x轴距离为2,顶点的坐标为M(-1,2)或M(-1,-2)故设二次函数式y=a(x1)22或y=a(x+1)2-2又抛物线经过点A(-3,
6、0)0=a(-31)22或0=a(-31)2-2所求函数式是解法(二):根据题意:设函数解析式为y=ax2bxc点A(-3,0)在抛物线上0=9a-3bc 又对称轴是x=-1顶点M到x轴的距离为2解由,组成的方程组:所求函数的解析式是:解法(三):抛物线的对称轴是x=-1又图象经过点A(-3,0)点A(-3,0)关于对称轴x=-1对称的对称点A(1,0)设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1,2)或(-1,-2)分别代入函数式,得2=a(-13)(-1-1)或-2=a(-13)(-1-1)解关于a的方程,得所求函数式为:说明:比较以上三种解法,可以看出解法(一)和解法
7、(三)比解法(二)简便M点到x轴的距离为2,纵坐标可以是2,也可以是-2,不要漏掉一解例5 已知抛物线y=x2-6xm与x轴有两个不同的交点A和B,以AB为直径作C,(1)求圆心C的坐标(2)是否存在实数m,使抛物线的顶点在C上,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由分析:(1)根据抛物线的对称性,由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点(2)依据圆与抛物线的对称性知,抛物线的顶点是否在C上,需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于C的半径长,依据这个条件,列出关于m的方程,求出m值后再由已知条件做出判断解:(1)y=x2-6xm=(x-3)2+m-9抛物线的对称轴为直线x=3抛物线
8、与x轴交于A和B两点,且AB是C的直径,由抛物线的对称性圆心C的坐标为(3,0)(2)抛物线与x轴有两个不同交点=(-b)2-4m0,m9设A(x1,0),B(x2,0)抛物线的顶点为P(3,m-9)解得:m=8或m=9m9,m=9舍去m8当m=8时,抛物线的顶点在C上说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式解答这类问题的基本思路是:假设“存在”演绎推理得出结论(合理或矛盾)例6 已知抛物线y=ax2bxc,其顶点在x轴的上方,它与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A及点B(6,0)又知方程:ax2bxc0(a0)两根平方和等于40(1)求抛物线的解析式;(2)试问:在此抛物线上是否存在一点
9、P,在x轴上方且使SPAB=2SCAB如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由分析:求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式,通过解方程组求出系数也就得到解析式第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理,从而判断存在或不存在解:(1)由题设条件得抛物线顶点为(2,4)又A点坐标为(-2,0),而ABC与PAB同底,且当P点位于抛物线顶点时,PAB面积最大显然,SPAB=162SABC=212=24故在x轴上方的抛物线上不存在点P使SPAB=2SCAB例7 在一块底边长为a,高为h的三角形的铁板ABC上,要截出一块矩形铁板EFGH,使它的一边FG在BC边上,矩形的边EF等于
10、多长时,矩形铁板的面积最大分析: 问题问“矩形的边EF等于多长时,矩形铁板的面积最大”,所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x),因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S,这就要用EF表示出EH解: 设内接矩形EFGH中,AMBC,EHBC,设EF=x(0xh)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明:解决联系实际的问题,又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识,利用相似成比例列出函数式再求最值例8 二次函数y=ax2bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,(1)求二次函数的解析式;(2)求原点O到直线AB的距离分析:为直线x=3,来求系数a,b注意根
11、与系数关系定理的充分应用为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理解: (1)如图,由已知,有(x1+x2)2-2x1x2=26,a=-1解析式为y=-x26x-5=-(x-3)24(2)OB=5,OC=4,AC=3,AOB为等腰三角形,作ODAB于D,说明:有部分学生把二次函数的顶点坐标记错,也有的学生不会用“根与系数的关系”,得不出解析式有不少学生没有发现AOB是等腰三角形,若发现为等腰三角形,OD是底边AB的高,利用勾股定理就迎刃而解了发生错误的原因,没记熟抛物线的顶点坐标公式,有的学生记下来了,但与两个根如何综合使用发生了问题,有些学生求点O到直线AB的距离,没有分析出图
12、形与数量关系,其实AOB是等腰三角形,知道这一性质求OD的数据就方便多了纠正错误的办法,加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习;另外,也要加强寻找特殊点的学习一般说,无论多难的题目,总是有解题规律的在几何图形中,经过认真分析,有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形例9 设A,B为抛物线y=-3x2-2xk与x轴的两个相异交点,M为抛物线的顶点,当MAB为等腰直角三角形时,求k的值分析:首先按题意画出图形,再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件,来解答本题,得出解后要分析解的合理性进行取舍解:抛物线与x轴有两个相异交点,故0,即(-2)2-4(-3)k0,解关于
13、k的不等式,得根据题意,作出图象,如图设N为对称轴与x轴的交点,由抛物线的对称性知,N为AB中点AMBRt,且MN的长即为M点的纵坐标,又设A点坐标(x1,0),B点坐标(x2,0),则有解关于k的方程,得k0说明: 本题有一个重要的隐含条件,即要使抛物线与x轴有两个相异交点,应首先满足0(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形,联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理,找到等量关系,列出关于k的方程,如果没有这种灵活运用定理的能力,将得不到关于k的方程,难以求解例10 某商场将进货单价为18元的商品,按每件20元销售时,每日可销售100件,如果每提价1元(每件),日销售量就要减少10件,那么把商品的售出价定为多少时,才能使每天获得的利润最大?每天的最大利润