分解质因数的例题讲析

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1、分解质因数的例题讲析分解质因数的例题讲析分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有 用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广 泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖 的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。*例1 ABC X D=1673，在这个乘法算式中， A、B、C、D 代表不同的数字， ABC 是一个三位数。求 ABC 代表什么 数？（适于六年级程度）解：因为 ABC X D=1673， ABC 是一个三位数，所以可把 1673 分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另 一个数相乘的形式，这个三位数就是 ABC 所代表的数。1673=239X 7答：

2、 ABC 代表 239。例 2 一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地 的周长是多少米？（适于六年级程度）解：先把 2304 分解质因数，并把分解后所得的质因数 分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边 长。2304=2X 2X 2X 2X 2X 2X 2X 2X 3X 3=(2X 2X 2X 2X 3)x( 2X 2X 2X 2X 3)=48 x 48正方形的边长是 48 米。这块田地的周长是：48x 4=192（米）答略。*例 3 有 3250 个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友， 剩下 10 个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40 个。求这个幼儿园有多少名小朋友

3、？（适于六年级程度）解： 3250-10=3240（个）把 3240 分解质因数：3240=23x 34x 5接近 40 的数有 36、37、 38、39这些数中 36=22x 32，所以只有 36 是 3240 的约数。23 x 34 x 5-（ 22x 32）=2x 32x 5=90答：这个幼儿园有 90 名小朋友。* 例 4 105 的约数共有几个？（适于六年级程度） 解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数 分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘 积逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。因为，105=3 X 5X 7,所以，含有一个质数的约数有1 、 3、5、 7

4、共 4 个；含有两个质数的乘积的约数有3X 5、 3X 7、 5X 7 共 3个；含有三个质数的乘积的约数有 3X 5X 7 共 1 个。所以， 105 的约数共有 4+3+1=8 个。答略。*例 5 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个 数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分 别是多少？（适于六年级程度）解：将这九个数分别分解质因数：15=3X 522=2X 1130=2X 3X 535=5X 739=3X 1344=2X 2X 1152=2X 2X 1377=7X 1191=7X 13观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数 中共有六个 2

5、，三个 3，三个 5，三个 7，三个 11，三个 13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个 3，一个 5，一个 7，一个 11 和一个 13。由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52 和 77；22、30 和 91；35、39 和 44。答略。*例 6 有四个学生， 他们的年龄恰好一个比一个大一岁， 他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）解：把 5040 分解质因数：5040=2 x 2X 2X 2X 3X 3X 5X 7由于四个学生的年龄一个比一个大 1 岁，所以他们的年 龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然 数是：7，2x

6、 2x 2，3x 3，2x 5即四个学生的年龄分别是 7岁、 8岁、 9岁、 10 岁。 答略。* 例 7 在等式 35x（ ）x 81x 27=7x 18x（ ）x 162 的两个括号中，填上适当的最小的数。 （适于六年级程度）解：将已知等式的两边分解质因数，得：5x 37x 7x（ ）=22x 36x 7x（ ）把上面的等式化简，得：15 X（ ） =4 X（）所以，在左边的括号内填 4，在右边的括号内填 15。15X（ 4） =4X（ 15）答略。* 例 8 把 84 名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）解：把 84 分解质因数：84=2 X 2X

7、3X7除了 1 和 84外， 84的约数有：2，3，7，2X2=4，2X3=6，2X7=14，3X7=21，2X2X3=12，2X 2X7=28，2X3X 7=42。下面可根据不同的约数 进行分组。84- 2=42 （组）84- 3=28 （组）,84- 4=21 （组），84 - 6=14 （组），84 - 7=12 （组）,84 - 12=7 （组）,84 - 14=6（组）,84 + 21=4 （组）,84 - 28=3 （组）,84 - 42=2 （组）。因此每组 2 人分 42 组；每组 3 人分 28 组；每组 4 人分 21 组；每组 6 人分 14 组；每组 7 人分 12 组

8、；每组 12 人分 7 组；每组 14 人分 6 组；每组 21 人分 4 组；每组 28 人分 3 组；每组 42 人分 2 组。一共有 10 种分法。答略。*例 9 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相 等。求这两组数。 (适于六年级程度)解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数 不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数 一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。14=2 X 7 143=11 X 1330=2X 3X 5 169=13X333=3X 11 4445=5X 7X 12775

9、=3X 5X 5 4953=3X 13X 127在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有 2个，质因数 3、5、13 各有 4个。在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数 2、7、11、127各有 1 个，质因数 3、5、13各有 2个。按这个要求每一组四个数的积应是：2X 7X 11 X 127X 3X 3X 5X 5X 13X 13因为，(2X 7)X( 3X 5X 5)X( 11 X 13)x( 3X 13 X127) =14X 75X 143X 4953，根据接下来为 “14、75、143、 4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组

10、的四个数是： 30、33、169、4445。答略。*例 10 一个长方形的面积是 315平方厘米，长比宽多 6 厘米。求这个长方形的长和宽。 (适于五年级程度)解：设长方形的砦獂厘米，则长为(x+6)厘米。根据题意列方程，得：x(x+6 )= 315x (x+6) =3 x 3X 5X 7=(3x 5)x( 3x 7)x( x+6 )=15x 21x( x+6 )=15x( 15+6)x=15x+6=21答：这个长方形的长是 21厘米，宽是 15厘米。* 例 11 已知三个连续自然数的积为 210，求这三个自然 数各是多少？(适于五年级程度)解：设这三个连续自然数分别是 x-1，x，x+1 ，

11、根据题 意列方程，得：( x-1 )x xx( x+1)=210=21x 10=3x 7x 2x 5=5x 6x 7比较方程两边的因数，得： x=6，x-1=5，x+1=7。 答：这三个连续自然数分别是 5、 6、7。*例12 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为 1440，并且甲、乙两数的积比丙数的 3 倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）解：把 1440 分解质因数：1440= 12 X 12X 10=2 X 2X 3X 2X 2X 3X 2X 5= （ 2X 2X 2）X（ 3X 3）X（ 2X 2X 5）=8X 9X 20如果甲、乙二数分别是 8、9，丙数

12、是 20，则：8X 9=72，20X 3+12=72正符合题中条件。答：甲、乙、丙三个数分别是8、 9、20。*例 13 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说： “你们是 否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？” 儿子们齐声回答说： “是的，我们的年龄和您年龄的乘积， 等于您儿子人数的立方乘以 1000 加上您儿子人数的平方乘 以 10 。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下 第二个儿子？（适于六年级程度）解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个 儿子年龄的乘积等于：33X 1000+32 X 10=27090把 27090 分解质因数：27090=43 X 7X 5X 32X 2根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：43 X 14 X 9X 5 这个质因式中 14 就是 9 与 5 之和。所以母亲 43 岁，大儿子 14 岁，二儿子 9 岁，小儿子 5 岁。43-9=34（岁）答：母亲在 34 岁时生下第二个儿子。