《华东师范大学高等代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华东师范大学高等代数（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:1 1.1x(x -1)X (X-1).X (x-1)X2(X -1)X2(X-1).X2(X-1)1122n nXn-1(X -1) Xn-1(X -1) . Xn-1(X 一1)f 5-200 .（15 分）设a = =-2000005-2、00-22匕7求正交矩阵T,使TAT = T-1 AT为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.2 0 0、三.（15分）设A = a 2 0是复矩阵.b c -1J1. 求出A的一切可能的Jordan标准形；2. 给出A可对角化的一个充要条件.四.（15分）已知3阶实数矩阵A =
2、 （a ）满足条件a = A （i, j = 1,2,3），其中A是a ijij ijij ij的代数余子式，且a33 =-1，求：1. |A|f X )f 0、1*X=02X kX3 71L72.方程组A的解.五. （15分）证明：一个非零复数a是某一有理系数非零多项式的根。存在一 个有理系数多项式f （x）使得1 = f （a）.a六. （15分）设A是n阶反对称阵。证明：1. 当n为奇数时|A|=0.当n为偶数时|A |是一实数的完全平方；2. A的秩为偶数.七. (15分)设V是有限维欧氏空间.内积记为(以,P).又A设是V的一个正交变 换。记 u = a | Aa =a ,a g V
3、 ,V = a - Aa | a g V ，求证：1. V,V是v的子空间；2. V = V匕.八. (15分)设n阶实数方阵的特征值全是实数且A的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：An = 0九. (15分)设A，B均是正定矩阵，证明：1 .方程|人A-B = 0的根均大于0；2 .方程|X A - B = 0所有根等于1 A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一. (10分)计算下列行列式：2n - 2 2n-i- 2 . 23 - 223n -3 3n-i -3 . 33 -36.nn -n nn-i -n . n3 -n n2 -na x + a x
4、 +. + a x = 011 112 2in na x + a x +. + a x = 0二. (10分)证明：方程组j 21 122 22n n (1)的解全是方程a x + a x +. + a x = 0s1 1s 2 2sn nbx + b x +. + b x = 0(2)的解的充分必要条件是：p = (b ,b .,b )可由向量组112 2n n12 na ,a .,a 线性表示，其中a = (a ,a ，,a )(i = 1,2,., s).1 2 sii1 i 2in三(15分)设f (x) = x3 + ax2 + bx + c是整系数多项式，证明：若ac+bc为奇数，
5、 则f(x)在有理数域上不可约.四(15分)设A是非奇异实对称矩阵，B是反对称实方阵。且AB=BA。证明：A+B 必是非奇异的。五(15分)A为n阶方阵，f (人)=1人E -加是a的特殊多项式。并令= f )( f侦)称为件)的一阶微商)。(f。), f 证明：A与一个对角矩阵相似的充要条件是g(A) = 。六(15分)假设A是n维欧氏空间V的线性变换，A*是同一空间V的变换。且对Va,p eV,有(Aa,P) = (a,A*P).证明：1 A*是线性变换。2 A的核等于A*的值域的正交补。七(15分)证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。八(15 分)设 f(x)为数域
6、 P 上多项式，且有 f (x) = f (x) f (x), (f (x), f (x) = 1.1212又设D为P上N维线性空间。A为V的一个线性变换。K为f (A)的核，冬1为f1(A)的核，” 2为f2(A)的核。证明：K =w6 .一 nn九(15分)设a +如-1是n阶实方阵A的任一特征值。a,b是实数。如A + A的个特征值是R , R，,R。证明：必有min a maxp( A 是A的转置矩阵)。1 2 n2 i ，2 ，华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）计算行列式：n - 1n-23n - 2n - 32n - 3n-4110 n 501 n 42
7、10101012 - -n -4n -3n-2n -3n -2n-1二（15 分）设 P 是一个素数，多项式/（x）=xp-1 + xp-2 +x+L证明：f （x） 在有理数域上不可约。（1 x三（仔分）设A = x 11 y0 )0相似，2 J（2）求一个正交矩阵T，使八1如=厂如=B（1）求X，y的值。四（15分）设A是实矩阵，A是A的转置矩阵，求证:（1）AA与A的秩相等。（2）当A是满秩时，AA是正定的。五（20分）设A是n阶方阵，证明：（1）A的特征多项式f （x）与A的最小多项式m（x）的根相同。（2）若A的特征根互异，则m（x） = f （x）。六（20分）设V是数域F上任一线
8、性空间，A是V上一个线性变换，Fx是数 域F上一元多项式的集合。证明：设d （x）是f （x）, g（x）的最大公因式，f（x）, g （x） e F【x,则kerd（A） = kerf （A） ckerg（A）,其中 kerA 是 A 的核。七（20分）设n维欧氏空间V的线性变换A满足A3 + A = 0.证明：A的迹（即A在v的某一基下对应矩阵的迹数）等于零。华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题一（15分）已知下列非齐次线性方程组（1） （2）(1)气+七-2气一64 x 一 x 一 x 一 x = 112343 x 一 x 一 x = 3123x + mx - x - x =
9、 -51234(2) nx - x - 2x = -11x - 2x = -t +1341求方程组（1），用其导出组的基础解系表示通解。2当方程组（2）中的参数m,n,t为何值时，方程组（1）与（2）同解。二（15分）设n阶方阵A，B满足条件A+B=AB。一 n1证明：A-E为可逆矩阵，E为 阶单位矩阵。2 证明：AB=BA。（1 -3 0）3已知：B = 2 1 0，求A0 0 2）三（15分）设向量a = （a ,a ,.,a ）T ； p = （b ,b ,.,b ）t都是非零向量，且满12 n12 n一. n ， 、 足条件atp = 0，令阶方阵A = atp。1求人2 ；2矩阵A的
10、特征值和特征向量。3说明A是否与对角矩阵相似。四（15分）求一个可逆线性替换把2x2-2”2 + 5x2-4”3 + 4x;与3 2 x2 - 2x + 3x2 - 4x2x3 + 2x2同时分别化成标准形五（10分）试证：设f（x）是正系数多项式，且/（1）= /（2） = /=P（p是 素数）则不存在整数m，使/（m） = 2P成立。六（15分）设A是n阶半正定矩阵，B是n阶正定矩阵。试证：1 A + B因B |,且等号成立当且仅当A=0。七（15分）设A是线性空间V的线性变换，试证：秩人2 二秩 A的值域与核的交为零空间。即AU C A-1（0） = 。华东师范大学2001年攻读硕士学位
11、研究生入学试题一（15分）计算行列式0aa aa23n-1nb0a aa13n-1nbb0 . aa12n-1nbbb 0a123nbbb b0123n-1二（15 分）设 0=a+a,0=a+a,.,0 =a +a ,p =a +a，试证：11 2 2 2 3n-1 n-1 n n n 1（1）当n为偶数时，P,., *线性相关。（2）当n为奇数时，P ,P ，,P线性无关。以，以，以线性无关。12 n12n三（15分）设% a2，,an为互不相同的整数，证明：多项式/（x） = （x a1）（x a2）.（x a ） 1 在有理数域上不可约。四（20分）已知：AA2, A3是三个非零的三阶
12、方阵，且 A； = A.（i = 1,2,3），A, = 0（i，j）.证明:（1）A,（ = 1,2,3）的特征值只有1和0；（2）A.属于特征值1的特征向量是A顶属于特征值0的特征向量；（3）若气，x ,x分别是A,A ,A属于特征值1的特征向量。则x，x，土线性无关。1 2 3123123五（15分）若存在正整数m，使Am = E,（E单位矩阵，A是n阶方阵），证明：A相似于对角形矩阵。六（20分）A为mxn阶实矩阵，且mm,令A =证明：A有n个正的特征值，m个负的特征值。五（15分）设f（x）为实系数多项式，证明：如果对任何实数c都有f （c） 0,，则存在实系数多项式g3）和龙3），使f 3） = （g 3）2 + （ h（x ）2六（15分）设A, B都是n阶方阵，rankA=n-1.证明：如果AB=BA=0，则存在多项式g（x），使B=g（A）.
