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1、第9讲 复数的概念与运算【学习目的】.理解复数的基本概念,以及复数相等的充要条件2.会进行复数代数形式的四则运算，.3.理解复数代数形式的几何意义。【高考风向标】对复数的考察多以选择题、填空题的形式浮现，并且一般在前三题的位置,重要考察复数的概念和运算,特别是复数除法的运算,如复数幂的运算与加法、除法的结合,复数的乘法与共轭复数的性质相结合等等。【知识梳理】1.复数的有关概念(1)复数的概念形如ai (a,bR)的数叫做复数，其中a，分别是它的_和_.若_，则a+为实数,若_，则ai为虚数,若_,则a+bi为纯虚数.()复数相等：abi=c+d_(a，b,dR)()共轭复数：abi与+di共轭
2、_(，b，c,d)1复数:形如 的数叫做复数,其中a ,b分别叫它的 和 .2.分类：设复数:(1) 当 =0时，z为实数；(2) 当 0时,z为虚数;(3) 当 =0,且 0时,z为纯虚数. (4)复数的模向量的模叫做复数z=a+bi的模，记作_或_,即|a+i|=_.2.复数的运算（1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=bi,2c+di (a,b，c，R),则加法：z1+z2=(+b)（cdi）_;减法:z1-z2=（a+b)(c+d)_；乘法：z1=(+bi)(c+di)_；除法：=_(cdi)3.复数的几何意义()复数z+bi复平面内的点Z(，b）(a，b）(2)复数=abi(，)_
3、.两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才干比较大小。三、复数模的求解方略：运用定义求复数的模；运用几何意义求复数的模;运用复数相应的向量关系求复数的模；运用方程思想求复数的模。四、解决复数问题的基本方略:复数相等方略;分母实数化方略；运用几何意义化为点或向量方略。措施提示:1.复数的分类及相应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应当满足的条件问题,只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是运用复数的有关运算先求出复数z,然后运用复数的模长公式求解3.复数
4、的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起,可以更加灵活的解决问题.高考中对复数几何意义的考察重要集中在复数相应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等1.在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化,必须精确纯熟地掌握.2.记住某些常用的成果,如的有关性质等可简化运算环节提高运算速度.3.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范畴内的运算法则在复数范畴内与否合用.一 重点、难点、热点剖析由于复数在整个高中数学所处的地位的变化,此后高考时复数不会有太多太高的规定,试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数
5、的概念及复数的运算是复数应用的基本,是高考考察的重点,复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考察的重点，重要考察基本运算能力，此外复数的有关概念众多，波及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考察。二 技巧措施1、 设zabi(a,),运用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的措施，同步要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z=abi(a，b),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充足运用整体思想求解,则能事半功倍。2、 在简化运算中，如能合理运用i和复数的模等有关的性质,常能出奇制胜,事半功倍，因此在学习中注意积累
6、并灵活运用。3、 性质:是复数运算与实数运算互相转化的重要根据，也是把复数看作整体进行运算的重要根据,在解题中加以结识并逐渐领略。4、 学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的结识。四、 注意点析1、 要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集,纯虚数集是虚数集的真子集，来源:学。科。网2、 当概念扩展到复数后，实数集R中的某些运算性质、概念、关系就不一定合用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。3、 纯熟掌握复数乘法、除法的运算法则,特别是除法法则，更为重要，是
7、考试的重点。五、 思想措施1、 数形结合这是本章的重要数学思想，例如复数自身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充足运用图形的直观性，简捷巧妙的解题。2、 方程的思想,重要体目前复数相等的充要条件和复数方程。、转化思想,转化思想是复数的重要思想措施,既然在实数的基本上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及等,进行复数与实数间的转化。4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题方略和措施,在复数中它可以使复杂问题简朴化，从而化整为零，各个击破。5、重要措施有：待定系数法、整体法;待定系数法是运用复数的代数形式，设复数za+的形式代
8、入，再运用复数相等或其他途径，转化为与a，有关的等式,求出a,b即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点,通过研究问题的整体形式、整体构造或作某些整体解决,这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。【基本训练】.(0福建)若复数(a2-a2）+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 .（7福建模拟卷)复数的共轭复数是 3.若复数（)在复平面内相应的点位于虚轴上，则的取值集合为 4(1)计算（07山东济南模拟） (2)计算= .（8山东)设的共轭复数是,若，,则等于 6.已知复数,且是实数,则实数= 小结：复数问题实数化是解决复数问题的重要措施，其转化的根据重要就是复数相等的
9、充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式,由复数相等得到两个实数等式所构成的方程组,从而可以拟定两个独立的基本量. 探究任务一(针对学习目的会根据复数的概念解决复数相等及分类问题） 1.（江西高考）已知(+）（1）=，则实数,分别为( )A. =-，=1 B.-1，2 .=1，1 D =1,=.若复数是纯虚数（是虚数单位),则实数的值等于 （ )A.-2 B. C D探究任务二(针对学习目的2会根据复数代数形式的四则运算法则对复数进行加、减、乘、除运算）.（山东高考)若复数满足（为虚数单位），则为 ( ). C. D.(全国高考)复数的共轭复数是( ）A B. C. D探究任务三(针对学习目的
10、3会根据复数的几何意义解决有关问题).在复平面内,向量相应的复数分别为,则相应的复数为( ）. B . D 6.已知复数，则在复平面内相应的点位于（ ） .第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【课堂反馈】1.（07广东模拟)若，其中、,是虚数单位,则 2.= 3.计算：= A组1.是复数为纯虚数的（ ）.充足条件但不是必要条件B.必要条件但不是充足条件C.充要条件 D既不是充足也不必要条件B组.复数A. B. .4. 已知,求及. （安徽高考理科1)设是虚数单位,复数为纯虚数，则实数a为（A)2 (B)- (C） （)【思路点拨】先根据复数的除法运算化简,再运用纯虚数概念，令
11、实部为0,求a【精讲精析】选 ,由是纯虚数,则，因此a=.3. (新课标全国高考文科T）复数( ) B C. D【思路点拨】运用复数的除法法则直接求解,也可用间接法验证选项求解.【精讲精析】选C 解法一： 解法二：验证法 验证每个选项与1的积，正好等于5i的便是答案.5. (江苏高考T3)设复数满足(i是虚数单位)，则的实部是_【思路点拨】本题考察的是复数的运算，解题的核心是设出复数的代数形式，然后运算求得复数，找出实部【精讲精析】答案:1设,则,因此,复数的实部是1.6.(湖北理数)1若i为虚数单位，图中复平面内点表达复数Z,则表达复数的点是AE B.F C.G D.H【答案】D【解析】观测
12、图形可知,则，即相应点(2,1）,故D对的.例复数在复平面上相应的点位于（ ）(A）第一象限 (B）第二象限(C)第三象限 (D）第四象限 思路解析: 化简z为代数形式，拟定其实部、虚部.解答: 选A.由于因此因此相应的点位于第一象限二、复数相等有关链接、a+bi=c+i.2、运用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为原则的代数形式。注:对于复数z,如果没有给出代数形式,可设z= b（a,b)。三、复数的代数运算有关链接、()复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法核心是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住如下结论,可提高运算速度：(i）2=2i；4=1，4n+1i，i4+=，4n+3=i（nN).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时具有虚数单位的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简朴的形式,在运算过程中，要熟透i的特点及纯熟应用运算技巧。例题解析例1已知z,z2为复数，(3)1为实数，且|z2|求z思路解析: 可不设代数形式运用整体代换的思想求解.1z2(2+i),(3+i）z1=z2(2i)(3+i)=z2(55)R,z2|=|z2(55i)|=,z2(i)50，例
