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1、3实数与向量的积一、基础知识:(一)、实数与向量的积实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:();()当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,。实数与向量积的运算律:()结合律:;()分配律:;。(以上3向量共线定理:如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且仅有一个实数,使。(二)、平面向量的基本定理定理:如果、是同一平面内两个不共线向量,那么对这一平面内任一向量,有且只有一对实数、,使成立,这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。二、基本题型:1已知,则在以下各命题中,正确的命题共有 个。,时,与的
2、方向一定相同;,时,与是共线向量;,时,与的方向一定相同;,时,与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量,若 ,且、共线,则 。3已知向量、,且, ,则一定共线的三点的序号是 A、B、D;A、B、C ;B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的序号是 。和;和;和;和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足,则P与的关系正确的序号是 。P在的内部;P在的外部;P在所在直线上;P是的一个三等分点。6已知点G是的重心,过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F,若,则 。7在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中
3、点,或,其中,则_。. 8如图所示,以向量,为边作平行四边形, ,用,表示、。 9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点,设,求证:。 10如图,已知梯形ABCD中,、分别是、边上的中点,且,设,以、为基底表示、。 11设,是两个不共线的向量,已知=2+, =+3,=2-,若A、 B、D三点共线,求的值。12设、不共线,点在上。求证:且,、。3数与向量的积一、基础知识:(一)、实数与向量的积实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:();()当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,。实数与向量积的运算律:()结合律:;()分配律:;。(以上3向
4、量共线定理:如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且仅有一个实数,使。(二)、平面向量的基本定理定理:如果、是同一平面内两个不共线向量,那么对这一平面内任一向量,有且只有一对实数、,使成立,这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。平面向量的基本定理陈述了这样一个事实,即:如果已知平面内两个不共线的向量,那么对平面内任一向量都可找到唯一的实数对,把这一向量分角。这与物理中力的分解有共同之处,我们可以通过类比的办法加以理解,另外注意这两个基底不是唯一的,只要是平面内不共线的两个向量都可以。二、基本题型:1已知,则在以下各命题中,正确的命题共有 个。(5)
5、,时,与的方向一定相同;,时,与是共线向量;,时,与的方向一定相同;,时,与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量,若 ,且、共线,则 。3已知向量、,且, ,则一定共线的三点的序号是 ( )A、B、D;A、B、C ;B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的序号是 。( )和;和;和;和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足,则P与的关系正确的序号是 。()P在的内部;P在的外部;P在所在直线上;P是的一个三等分点。6已知点G是的重心,过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F,若,则 。7在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或,其中,则_。. 4/3解:设、则 , ,代入条件得8如图所示,以向量,为边作平行四边形, ,用,表示、。(,)9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点,设,求证:。证明:如图,设, ,从而。10如图,已知梯形ABCD中,、分别是、边上的中点,且,设,以、为基底表示、。(;)11设,是两个不共线的向量,已知=2+, =+3,=2-,若A、 B、D三点共线,求的值。解:-=(+3)-(2-)=4-,A、 B、D三点共线,存在实数,使得=。2+=(4-)。故。=-8。12设、不共线,点在上。求证:且,、。证明:点在上,与共线,从而。令,。且,、。