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1、线性代数公式1、行列式1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列)的元素乘以其他行（列）元素的代数余子式为；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为;3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为,则；将主对角线翻转后(转置)，所得行列式为，则;将主副角线翻转后，所得行列式为,则;5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积；、上、下三角行列式(）:主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展
2、开式：、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积；、特性值;6. 对于阶行列式,恒有：,其中为阶主子式;7. 证明的措施：、；、反证法；、构造齐次方程组,证明其有非零解；、运用秩,证明；、证明0是其特性值;2、矩阵8. 是阶可逆矩阵:（是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表达到若干个初等矩阵的乘积；的特性值全不为0；是正定矩阵;的行（列)向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；9. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;10.11. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和；12. 有关分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若
3、,则:、；、；、；(主对角分块)、;（副对角分块）、；(拉普拉斯）、；(拉普拉斯)、矩阵的初等变换与线性方程组13. 一种矩阵，总可通过初等变换化为原则形,其原则形是唯一拟定的：;等价类：所有与等价的矩阵构成的一种集合，称为一种等价类;原则形为其形状最简朴的矩阵;对于同型矩阵、，若；14. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0；15. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若，则可逆，且;、对矩阵做初等行变化，当变为时,就变成,即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；16.
4、 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、,左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号,且,例如:； 、倍乘某行或某列，符号,且,例如:；、倍加某行或某列,符号,且,如:；17. 矩阵秩的基本性质：、;、；、若,则;、若、可逆,则;（可逆矩阵不影响矩阵的秩)、；（)、；（）、；（)、如果是矩阵，是矩阵，且,则：（）、的列向量所有是齐次方程组解(转置运算后的结论）;、若、均为阶方阵，则；18. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量）行矩阵(向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵
5、:运用二项展开式；二项展开式:；注:、展开后有项;、组合的性质:；、运用特性值和相似对角化：19. 随着矩阵：、随着矩阵的秩：;、随着矩阵的特性值：;、20. 有关矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0,阶子式所有为0；（两句话）、，中有阶子式所有为0；、,中有阶子式不全为0;21. 线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相似,即方程组有个方程;、与方程组得未知数个数相似，方程组为元方程;22. 线性方程组的求解:、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）;、齐次解为相应齐次方程组的解；、特解:自由变量赋初值后求得；23. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、；、(向量方程，为矩
6、阵，个方程，个未知数）、(所有按列分块，其中）;、（线性表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性有关性24. 个维列向量所构成的向量组：构成矩阵；个维行向量所构成的向量组:构成矩阵;具有有限个向量的有序向量组与矩阵一一相应;25. 、向量组的线性有关、无关有、无非零解;（齐次线性方程组)、向量的线性表出与否有解；（线性方程组）、向量组的互相线性表达与否有解；(矩阵方程）26. 矩阵与行向量组等价的充足必要条件是：齐次方程组和同解;(例14)27. ；(例15)28. 维向量线性有关的几何意义：、线性有关；、线性有关坐标成比例或共线(平行）；、线性有关共面;29. 线性有
7、关与无关的两套定理:若线性有关，则必线性有关;若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，两者为对偶)若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关,则也线性无关;反之若线性有关，则也线性有关;（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不拟定;30. 向量组(个数为)能由向量组（个数为）线性表达，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表达，则；(定理）向量组能由向量组线性表达有解;(定理2)向量组能由向量组等价(定理2推论)31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使；、矩阵行等价：（左乘，可逆)与同解、矩阵列等价:（右乘,可逆)；、矩阵等价：（、可逆)；
8、32. 对于矩阵与：、若与行等价,则与的行秩相等;、若与行等价，则与同解,且与的任何相应的列向量组具有相似的线性有关性;、矩阵的初等变换不变化矩阵的秩;、矩阵的行秩等于列秩；33. 若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表达,为系数矩阵;、的行向量组能由的行向量组线性表达，为系数矩阵；(转置)34. 齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；35. 设向量组可由向量组线性表达为：(题19结论)(）其中为，且线性无关，则组线性无关;(与的列向量组具有相似线性有关性)(必要性:;充足性:反证法）注:当时,为方阵，可当作定理使用；
9、36. 、对矩阵,存在，、的列向量线性无关;(）、对矩阵，存在,、的行向量线性无关；37. 线性有关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解;,系数矩阵的秩不不小于未知数的个数;38. 设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为：；39. 若为的一种解，为的一种基本解系,则线性无关;(题结论)、相似矩阵和二次型40. 正交矩阵或（定义),性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交,即;、若为正交矩阵,则也为正交阵,且;、若、正交阵,则也是正交阵;注意:求解正交阵，千万不要忘掉施密特正交化和单位化;41. 施密特正交化:;42. 对于一般方阵,不同特性值相应的特性向量线性无关;对于实对称阵,不同特性值相应的特性向量正交;43. 、与等价通过初等变换得到;，、可逆；,、同型;、与合同，其中可逆;与有相似的正、负惯性指数;、与相似；44. 相似一定合同、合同未必相似;若为正交矩阵,则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格)；45. 为对称阵，则为二次型矩阵;46. 元二次型为正定:的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特性值均为正数；的各阶顺序主子式均不小于0；;(必要条件）
