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1、逐次渐近法在用能量法进行计算时,必须先假设变形曲线,而且所假设的变形曲线对计算结果的误差 有决定性的影响。究竟如何选取变形曲线才能接近于精确解呢?逐次渐近法提供了一种较好 的办法。此外,对于精确解为未知或比较复杂的情况,用渐近法能提供临界荷载的上限和下限, 可以估计近似解的精确度,通过逐次渐近计算便可得到所需的精确度。用渐近法计算临界荷载时,先取任一满足几何边界条件的曲线作为初始变形曲线,杆件的 弯矩可以轴力P与挠度来表示，将其代入微分方程，用重积分法或其他方法得到变形曲线的 表达式, 从而得到一个临界荷载值。如果原设定的变形曲线刚好是正确的, 则求解微分方程 所得的变形曲线与原先所设的曲线必
2、定相同， 而如果选择的初始曲线是近似的，则积分后得 到的变形曲线与原曲线将有区别。换句话说， 原先设定的变形形式不是实际的屈曲平衡形式 为了寻求新的变形形式，可以第一次计算所得的曲线为基础作为真实挠度曲线的一个新的近 似解。重复上述计算， 又得到一个新的变形曲线， 求得另一临界荷载近似值， 它比前一个临 界荷载近似值更接近于精确值。继续进行计算， 直到假设的与计算的变形形式相差很小为止， 这时相应的临界荷载就将接近于精确解了。现以图1a所示的间端饺支等截面压杆为例来说明。其屈曲时的平衡微分方程为EIv ” = - Pv(1)积分两次后， 得到其弹性曲线表达式为P x xv(x)二JJ v(x)
3、dxdx(2)EI00以实际的变形曲线表达式v(x)及临界荷载P代入式(2)的右边，按式(2)算得的v(x)与实际的变形曲线必然相同。但若右边代入的为近似变形曲线v (x),则按上式算得的v (x)与v (x)就会有区别，不0 1 0过v (x)比v (x)更接近于实际变形曲线。若又以v (x)代入式(2)的右边进行积分,则又可1 0 1得到一个新的变形曲线v (x)。由v (x)又可求得v (x)等等，依此类推。这种递推关系可2 2 3写为一般形式v (x)二JJ v (x)dxdx(n=l,2,3)(3)nEln100 按上式每进行一次计算,所得的变形曲线近似解都将比前一次的更接近于精确解
4、。当计 算足够次数后，第n次与第n-1次两次结果接近相等时，便可认为得到了正确的变形曲线。不过,我们的目的在于确定临界荷载, 而它在按上述递推运算过程中是未知的常数。我 们把上述过程做些变化，便可求解临界荷载。假设初始挠度曲线v二v (x)00P f(XP -则由式(3)得到第一次近似挠度曲线为v (x)二JJ v (x)dxdx二vi(x)1EI 0EI 100第二次近似挠度曲线为p fFpfF-p -v (x) = e J v (x)dxdx二(珂)2vi(x)dxdx二(珂v2(x)00 0 0P -依此类推，得v (x) = ()nvn (x)nEI n式中 v (x)二JJ v (x
5、)dxdx(4)nn100当两次结果接近时，则v (x) u v (x)n 1nP由此可得： 1( x) = Ejb ( x)v ( x)则临界荷载P =亠 EI(5)cr (n) v ( x)n计算临界荷载时，先根据假定的挠度曲线由式(4)逐次求出vn/x)与vn(x)， 然后由式(5)确定临界荷载n次近似解。当两次求得的临界荷载接近时，认为所确定的临 界荷载有足够的精度。实际计算时， 一般只要计算少数几次便可得到比较满意的结果。下面以图 1a 所示压杆来说明式(5)的应用。第一次近似：选取图1b所示折线为初始曲线vo(x),折线中央的坐标设为f。其下半 段的方程为v (x) = -f x0
6、l由式(4)得第一次近似变形曲线为fx3 + flx3/4vi (x)二 JJ v 0 (x)dxdx 二l0 0 0 0为了能由式(5)求临界荷载的近似值，必须利用同一截面在两次计算中的挠度比，但应注意杆件不同截面的比值是不同的。例如P= El cr (1)v124EI-4 x 2 + 3l 2丄x=212EI129.391EI128.308EI12v (x) = -ff v (x)dxdx =2100-ff x3 +xdxdx31400fx5f1x3 5 f1 3x + 60124192将v2(x)和V1(x)代入式(5),得临界荷载的第二次近似值P= EI 土cr v x=116x4 4
7、012x2 + 251422在与精确解相比只差1.32 %。10 EI12第三次近似：以v2(x)作为近似变形曲线代入，得v3( x)=-ff v 2( x)dxdx=-ff - f0 0 0 0竺+fx dxdx24192fx7f1x5 5 f13x3 61 f15x25201 480 1152 23040据此可求得临界荷载的第三次近似值为Pcr(3)v =EI 3 v3 x，32=1681(16x4 4012 x 2 + 2514)64x6 + 33612 x4 70014x 2 + 42716x=zx29.882EI12vP = EI J cr (1)v1vP = EI cr (1)v1
8、12EI这里，假定取用最大挠度截面的比值来确定临界荷载。即取P=。cr(1)1 2第二次近似：以V(x)作为近似变形曲线代入，得与精确值仅差 0.13%。 在一般情况下，临界莉荷载的精确值是不知道的。因此，若在每一次近似计算时，能确定 临界荷载的上限和下限值，便可事先判断出临界荷载精确解所在的范围。为此，可利用式(5)算出构件上某两点的P 值，其中最低值即为下限，最高值则为上限，精确解必定在此上、 cr(n)下限之内。在上例中，第一次近似当x = 0时，l当x = 2时,p cr (3) min9.836EIl2p cr (3) max9.882EI12平均值9.859 EI/ 2作为临界荷载
9、的近似值，与精确值仅误差 0.104%，可以认为已相当P =7cr(1) min l 2P =7cr(1) max l 2精确解在这两个值之间，即罕 p 上|里，如果取平均值晋仝作为临界荷载的l2crl2l2近似值，则它与精确值误差只有 1.32。 同理，第二次近似解为p =罕1, p =罕1cr (2) minl2cr (2) minl29.8EI平均值7作为临界荷载的近似值，与精确值误差只有0.705%。l2第三次近似解为接近于精确解了。由上述可知,渐近法的每一次计算都为下一次的计算提供了更接近于精确解的特征函 数, 而且可以找到临界荷载值的上、下限; 所设的特征函数包含的项数愈多,则愈精确。当算 出的上限与下限甚为接近时,便求得了临界荷载的精确值。一般只需经过几次渐近计算特 征函数只需包含几项即可得到较为满意的解答。其缺点是每次求vn (x)时都要进行两次积分，计算工作较繁。为此在求Vn(x)时，可采用共轭梁法来代替重积分运算。必须指出,用渐近怯求临界荷载所设的初始的近似特征函数V 0( x)必须满足压杆的几何边界条件，而且V0(x)的形状必须与实际的屈曲形状大致相符,这样才能保证迭代运算的结果收敛于压杆的最小临界力。(参考文献：G毕尔格麦斯特等著，戴天民等译，稳定理论 上卷第 4.22节,中国工业出版社, 1964年。)
