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1、-习题一(P.14)1. 下列各近似值均有4个有效数字,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解有4个有效数,即,由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为,由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为;有4个有效数,即,由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为,由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为;有4个有效数,即,由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为,由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为.2下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字.解,即由有效数字与绝对误差的关系得,即 ,所以,;,即由有效数字与绝对误差的关系得 ,即 ,所以,;,即由有效数字与绝对误差的关系得 ,即 ,
2、所以,.4.设有近似数且都有3位有效数字,试计算,问有几位有效数字.解 方法一因都有3位有效数字,即,则,又 ,此时,从而得.方法一因都有3位有效数字,即,则,由有效数字与绝对误差的关系得.5.序列有递推公式若(三位有效数字),问计算的误差有多大,这个计算公式稳定吗.解 用表示的误差,由,得,由递推公式 ,知计算的误差为,因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大,这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 ,对所有的其中为Lagrange插值奇函数.证明 令,则,从而 ,又 ,可得 ,从而 .4. 求出在和3处函数的插值多项式.解方法一 因为给出的节点个数为4,而从而余项,于是 (n次插
3、值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立).方法二 因为而 ,从而 .5. 设且,求证.证明 因,则,从而 ,由极值知识得 6. 证明 .证明 由差分的定义或着 7. 证明 n阶差商有下列性质(a) 如果,则.(b) 如果,则.证明 由差商的定义(a) 如果,则.(b) 如果,则8. 设,求,.解 由P.35定理7的结论(2),得7阶差商 (的最高次方项的系数),8阶差商 (8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式,使它满足:,.解 方法一 先求满足插值条件,的二次插值多项式 (L-插值基函数或待定系数法),设从而,再由插值条件,得所以 ,即 .方法二 设,则 由插值条件,
4、得解得 ,从而 .方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造.10. 下述函数在上是3次样条函数吗.解因为 ,而 ,又是三次函数,所以函数在上是3次样条函数.补 设f(*)=*4,试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 ,从而 习题3 ( P.159) 1设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的多项式,则于线性无关.解 方法一 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零,采用反证法:若于线性相关,于是,存在不全为零使上式两边与作内积得到由于不全为零,说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零,即与假设矛盾.方法二 因为为上具
5、有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零,由( P.95)定理2得于线性无关. 2选择,使下述积分取得最小值解,令 ,得.令 ,得.3设试用求一次最佳平方逼近多项式.解 取权函数为(为了计算简便),则, ,得法方程 ,解得,所以的一次最佳平方逼近多项式.8什么常数C能使得以下表达式最小.解,令 ,得.14用最小二乘法求解矛盾方程组.解 方法一 方程组可变形为 ,原问题转化成在已知三组离散数据下求一次最小二乘逼近函数(*与y为一次函数的系数,t为自变量),取基,求解法方程,即 ,得到矛盾方程组的解为.方法二 方程组可变形为 ,令,令 , 得 ,解之得矛盾方程组的解为.习题47. 对列表
6、函数求解 一阶微商用两点公式(中点公式),得二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求 ,由得一次插值函数从而 ,于是,8. 导出数值数分公式并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得,从而 将分别在处展开,得(1)(2)3 +(3)3(4), 得,即余项主部为习 题 5 (P. 299)3. 设为对称矩阵,且,经高斯消去法一步后,A约化为,试证明亦是对称矩阵.证明 设,其中,则经高斯消去法一步后,A约化为,因而,若为对称矩阵,则为对称矩阵,且,易知为对称矩阵.13. 设 (1)计算;(2) 计算,及.解(1)计算,,其特征值为,又为对称矩阵,则的特征值为,因此;(
7、2) ,所以,为对称矩阵,其特征值为,则的特征值为,因此所以 15. 设,求证(1);(2).证明 (2)由(1),得, 则 ,从而 ,由算子范数的定义,得 .17. 设为非奇异阵,又设为上一向量范数,定义,求证:是上向量的一种范数(称为向量的W一范数).证明 正定性,因为一向量,下证 ,若即,由向量范数的正定性得,为非奇异阵,所以;若,则,由向量范数的正定性得即. 齐次性,任意实数有,由向量范数的齐次性,得; 三角不等式,任意实数,有,再由向量范数的三角不等式,得.习 题 6 (P.347)1.设有方程组(b),考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程组的收敛性.解 系数矩阵分裂如下,
8、Jacobi迭代矩阵为,J的特征方程为,展开得 ,即,所以用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的.G-S迭代矩阵为,G的特征方程为 ,展开得 ,即或,由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程组是不收敛的.4.设有方程组,其中为对称正定阵,且有迭代公式 (),试证明当时,上述迭代法收敛(其中的特征值满足).证明为对称正定阵,的特征值满足,且,则又迭代公式可变形为 (),从而迭代矩阵,迭代矩阵的特征值为,且满足,即 ,由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5.设,其中为实数,试确定满足什么条件时,解的Jacobi迭代法收敛.解 系数矩阵分裂如下,Jacobi迭代矩阵为,J的特征方程为 ,展开得 ,即或,当且仅当,所以当时,解的Jacobi迭代法收敛. z.