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1、Euclidabout 325 BC-about 265 BC.?几何原本几何原本?v欧几里得欧几里得Euclid of Alexandria;约公元前约公元前 330 公元前公元前 275v欧几里得的欧几里得的?几何原几何原本本?是用公理方法建是用公理方法建立演绎数学体系的最立演绎数学体系的最早典范。早典范。.公公理理化化方方法法使使数数学学丰丰富富的的理理论论建建立立在在最最简简单单明明了了的的、不不容容疑疑心心的的事事实实根根底底之之上上，容容易易明明辨辨是是非非。比比方方，几几何何学学的的正正确确性性归归结结于于诸诸如如“等等量量加等量，总量仍相等等公理体系的正确性。加等量，总量仍相等
2、等公理体系的正确性。公公理理化化方方法法也也是是数数学学逻逻辑辑严严密密性性的的一一种种表表现现。在在人人类类的的每每一一个个认认识识领领域域，当当经经验验知知识识积积累累到到相相当当数数量量时时，就就需需要要进进行行综综合合、整整理理，使使之之条条理理化化、系系列列化化，从从而而形形成成新新的的概概念念理理论论以以更更新新系系统统，以以实实现现认认识识从从感感性性阶阶段段到到理理性性阶阶段段的的飞飞跃跃。从从理理性性认认识识的的初初级级水水平平开开展展到到高高级级水水平平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。又表现为抽象程度更高的公理化体系。.公理公理体体系系定定义义公公设设、公理、公理命題定
3、定义义命題定定义义命題命題命題.公理公理体系体系的完善的完善v希尔伯特希尔伯特David Hilbert;1862 194318991899年发表著名的年发表著名的?几几何根底何根底?一书。一书。引入了引入了 20 20 条公理和条公理和 6 6 个不加解释的定义，个不加解释的定义，建立起新的几何公理建立起新的几何公理体系。体系。.公理体系的完善v6 个个不加解不加解释释的定的定义义包括：包括：点、线、面、通过、在 之间、相等20 条公理分成 5 組：关联公理I.18、順序公理II.14、合同公理III.15、平行公理IV.、联系公理V.12希尔伯特同时提出选择公理体系的原則：相容性、独立性、
4、完备性.对对?几何原本几何原本?的批评的批评v书中有局部的定义不清晰，阅读后反而书中有局部的定义不清晰，阅读后反而令人更迷惘。令人更迷惘。v在论证过程之中，欧几里得使用了一些在论证过程之中，欧几里得使用了一些公理系统未有提及的假設。公理系统未有提及的假設。对第对第 5 公设的疑心。公设的疑心。.第五公设平行公设第五公设平行公设v第五公设：假设一直线落在两直线上所构成的第五公设：假设一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。交。v在欧氏几何的所有公设
5、中，唯独这条公设显得在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的表达不像其它公设那样简洁、比较特殊，它的表达不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人疑心它不像是一个公设而更明了，当时就有人疑心它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到卷到卷命题命题29才不得不使用它。才不得不使用它。.对第五公设的证明对第五公设的证明v历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希历史上第一个宣
6、称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密约公元腊天文学家托勒密约公元150，后来普洛，后来普洛克鲁斯指出托勒密的克鲁斯指出托勒密的“证明无意中假定了证明无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与直线平行。过直线外一点只能作一条直线与直线平行。v替代公设：过直线外一点有且只有一条直线替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与直线平行。与直线平行。.几何原理中的家丑几何原理中的家丑v从公元前从公元前3世纪到世纪到18世纪，证明第五公设的努世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种力始终没有中断。但每一种“证明要么隐证明要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存含了另一个与第五公设等价的假定，要么
7、存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。多数对数学思想的进展没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为题称为“几何原理中的家丑。几何原理中的家丑。.v萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与直线平行等。萨凯里认为一点有无数条直线与直线平行等。萨凯里
8、认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设那么是与断锐角假设是不真实的。而直角假设那么是与平行公设等价的。平行公设等价的。v1763年，德国数学家克吕格尔年，德国数学家克吕格尔G.S.Klugel在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示疑心的数学家。由其它公设加以证明表示疑心的数学家。.高斯建立非欧几何
9、高斯建立非欧几何v最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从用来描述物质空间的是高斯。他从17991799年开始意识年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从到平行公设不能从其它公设推导出来，并从18131813年年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为他起先称之为“反欧几里得几何，最后改称为反欧几里得几何，最后改称为“非欧几里得几何。但高斯没有发表过任何有关非非欧几里得几何。但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他欧
10、几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中说：在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些发如果公布自己的这些发现，现，黄蜂就会围着耳朵飞黄蜂就会围着耳朵飞，并会，并会引起波哀提引起波哀提亚人的叫嚣亚人的叫嚣。.勇敢的勇敢的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基v在非欧几何的三位创造人中，罗巴切夫斯基最在非欧几何的三位创造人中，罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也最坚决地宣传和保卫自己的新思想。也最坚决地宣传和保卫自己的新思想。v他于他于18261826年在喀山大学发表了演讲年在喀山大学发表了演讲“简要论述简要论述平行线定理的一个严格证
11、明，而后又于平行线定理的一个严格证明，而后又于18291829年发表了年发表了?论几何原理论几何原理?的论文，这是历的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文发表在于是用俄文发表在?喀山通讯喀山通讯?上的而未引起上的而未引起数学界的重视。数学界的重视。.勇敢的勇敢的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基v1840年用德文出版的年用德文出版的?平行理论的几何研究平行理论的几何研究?引起引起高斯的关注，这使他在高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科年成为德国哥廷根科学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基表现得学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基
12、表现得比高斯更有勇气。比高斯更有勇气。v一直到一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，年，当他已是一位双目失明的老人时，还口述发表了著作还口述发表了著作?泛几何学泛几何学?，坚信自己新几何学，坚信自己新几何学的正确性。的正确性。v同一平面上的任何两条直线一定相交同一平面上的任何两条直线一定相交v 三角形内角和小于三角形内角和小于180度度.非欧几何的开展与确认非欧几何的开展与确认v德国数学家黎曼德国数学家黎曼B.Riemann,1826-1866于于1854年开展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立年开展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何学了一种更广泛的几何学-黎曼几何。黎曼几何。v (同一平面上的任何两条直线一定相交同一平面上的任何两条直线一定相交)v 三角形内角和小于三角形内角和小于180度度v19世纪世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。型，从而揭示出非欧几何的现实意义。v至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。.
