高中数学推理与证明

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1、推理与证明要点1：合情推理例1：（福建高考文科）观测下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .【规范解答】观测得：式子中所有项的系数和为1，又， 【答案】962要点2：演绎推理例2：（浙江高考理科14）设，将的最小值记为，则其中=_ .【规范解答】观测体现式的特点可以看出，当为偶数时，；，当为奇数时，【答案】要点3：直接证明与间接证明例3：（北京高考文科20）已知集合对于，定义A与B

2、的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一种是偶数【思路点拨】（I）（）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】（）（1,0,1,0,1） 3()设由于，因此,从而,由题意知,当时，,当时， ,因此()证明：设,记由（）可知,因此中1的个数为k,中1的个数为,设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不也许都是奇数，即三个数中至少有一种是偶数 注：有关否认性结论的证明常用反证法或举出一种结论不成立的例子即可；要点4：数学归纳法例4：等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值;

3、（11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立【解析】由于对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.因此得,当时,当时,又由于为等比数列,因此,公比为,（2）当b=2时，, ,则,因此 . 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,由于,因此不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=因此当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的某些等式，命题核心在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值与否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增长多少项，增长如何的项。（2）在本例证明过程中，考虑

4、“n取第一种值的命题形式”时，需认真看待，一般状况是把第一种值供稿通项，判断命题的真假，在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。（3）在用数学归纳法证明的第2个环节中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，核心是明确n=k+1时证明的目的，充足考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。【高考真题预测探究】1（山东高考文科）观测，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（A） (B) (C) (D)【规范解答】选D通过观测所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选D2（陕西高考理科）观测下列等式：,，

5、根据上述规律，第五个等式为 _.【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：【答案】 3（北京高考理科20）已知集合对于，定义A与B的差为 A与B之间的距离为；（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一种是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：（P）.【思路点拨】（I）直接按定义证明即可；（）“至少”问题可采用反证法证明；()把表达出来，再运用均值不等式证明【规范解答】（I）设， 由于，因此, ,从而 又,由题意知，.,当时，;,当时，,因此 ,(II)设， ，. 记，由（I

6、）可知, ， , ,因此中1的个数为，中1的 个数为 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不也许都是奇数，即,三个数中至少有一种是偶数（III）,其中表达中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 则,由于 因此,从而【措施技巧】（1）证明“至少有一种”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观测形式，合适变形转化为基本不等式4（江苏高考23）已知ABC的三边长都是有理数。（1） 求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【思路点拨】（1）运用余弦定理表达cosA，由三边是有理数，求得结论；（2）可运用数学归纳法证明.【规范解

7、答】措施一：（1）设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，由于cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。措施二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论

8、成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。5（江苏高考）设0,求证：.【解析】本小题重要考察比较法证明不等式的常用措施，考察代数式的变形能力。满分10分。证明：由于0,因此0，0，从而0，即.6（安徽高考）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充足必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：【解析】（）必要性：，又，即.充足性：设，对任意用数学归纳法证明.当时，. 假设当时，则，且，. 由数学归纳法知，对任意成立.() 设，当时，结论成立；当时，.，由（）知，且，.()设,当时，结论成立；当时，由()知，.【跟踪模拟训练】一、选择题（每题6分，共36分）1已知是的充足不必要条件，则是

9、的（ ）（） 充足不必要条件 （） 必要不充足条件（） 充要条件 （） 既不充足也不必要条件2设a、b、c都是正数，则,三个数（ ）A、都不小于2 B、至少有一种不小于2 C、至少有一种不不小于2 D、至少有一种不不不小于23在中，所对的边分别为，且，则一定是（ ）（） 等腰三角形 （） 直角三角形 （）等边三角形 （） 等腰直角三角形4已知函数的定义域为，若对于任意的，均有，则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ） （） （B） （C） （D）5.给定正整数n(n2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，

10、得到上面一行的数（比下一行少一种数），依次类推，最后一行（第n行）只有一种数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）(A)25122 007 (B)2 00722 006 (C)25122 008 (D)2 00722 0056.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别相应数列an(nN*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )(A)1 003(B)1 005 (C)1 006(D)2 011二、填空题（每题6分，共18分）7对于等差数

11、列有如下命题：“若是等差数列，是互不相等的正整数，则有”。类比此命题，给出等比数列相应的一种对的命题是：“_”。8如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）9(汉沽模拟)在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则 . 三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）10.观测下表：1，2，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，问：（1）此表第n行的最后一种数是多少

12、？（2）此表第n行的各个数之和是多少？（3）是第几行的第几种数?（4）与否存在nN*，使得第n行起的持续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请阐明理由.11已知数列：，（是正整数），与数列：，（是正整数）记（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100求的值，并指出哪4项为10012已知数列，记求证：当时，（）；（）；（）。参照答案一、选择题1【解析】选.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若则.2【解析】选D.3【解析】选A.，又由于，；4【解析】选C.可以根据图像直观观测；对于（C）证明如

13、下：欲证，即证，即证，即证，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；5【解析】选C.由题意知，112=724,48=623，20=522，故n行时，最后一行数为(n+1)2n-2，因此当n=2 007时，最后一行数为2 00822 005=25122 008.二、填空题6【解析】选B.观测点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,又2 009=4503-3,2 011=4503-1,a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,a2 009+a2 010+a2 011=1 005.7【解析】这是一种从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中类比到等比数列常常是，类比措施的核心在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基本。 .答案：若是等比数列，是互不相等的正整数，则有。8答案：锐角 钝角 9答案：三、解答题10【解析】（1）第n+1行的第1个数是2n，第n行的最后一种数是2n-1.（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+（2n-1）=322n-3-