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1、圆锥曲线中离心率及其围的求解专题【高考要求】1 熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2 .掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略；3灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨 论思想、等价转化的思想学)解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决：(1) 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2) 不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线等)列出所讨论的离心率(a,b,c ) 适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化围；(3 )函数值域求解法：把所讨论的离
2、心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。(4) 利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的 构思；(5) 结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个 共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数B简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题；(6) 构造一个二次方程，利用判别式0。2.解题时所使用的数学思想方法。(1) 数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是 其中各种量之间的大小和位置关系不能倒
3、置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出 来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。(2) 转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化， 实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。(3) 函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中 的一元二次函数知识等。(4) 分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨 论等。【题型分析】2 2X y1-已知双曲线G : 22 1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为 R、F2，抛物线C2的顶点在原点，a b准线与双曲线 C1的左准线重合，若
4、双曲线C1与抛物线C2的交点P满足pf2F|F2，则双曲线G的离C. 2 3D. 2 2心率为()A.2解：由已知可得抛物线的准线为直线X2a，二方程为y2 4a2一 x ；由双曲线可知2P(c2)，二aa2a2b2_2a2，二 e2 12，e 32X2 椭圆 2a2y21( a b 0)b的两个焦点分别为Ff2，以 F、F2为边作正三角形，若椭圆恰1证|2c eX3.（09理）过双曲线2x2ab21(a0,b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C若uurAB1 murBC2，则双曲线的离心率是（好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率a .31 b .3 1
5、 C . 4(23)2解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图,由平面几何知识可得|PF2|:| PF, |:厅店2| 1:3:2，c所以由椭圆的定义及e 得:a31，故选B.2a IPF1I IPF2I 3 1变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e10A.2【解析】对于A a,0则直线方程为X直线与两渐近线的交点为B，C，aba b,C(abab uur abb)，BC(a22a2bb2,2a2b uuu a2 b2),ABab aba ba buuu因此2ABuuur BC,4a2b2,5 答案:4.(09 理)过椭圆2x2a2y2 1(ab 0）的左焦点F
6、|作x轴的垂线交椭圆于点p， f2为右焦点，若F1PF260o，则椭圆的离心率为（)A.22【解析】因为P（ c,b2），再由F1PF2 60。有2a,从而可得eaa2x5. （08理）双曲线一2a21（ a 0，b 0）的左、右焦点分别是F2，过R作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于 M点,若MF2垂直于X轴，则双曲线的离心率为（A.B.3c.D.336.（08理）若双曲线2X2a2 y b21的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D7.(A 3(B)(C 3(D 5（08全国一理）在 ABC 中,AB BC， cos B7 若以18A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆
7、的离心率e8. （ 10文）设双曲线的一个焦点为虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为（(B)3(C)312(D)5122 2x y2 2a bF （c,0）, B（0, b） 一条渐近线斜率为：,直线FB的斜率为：ac解析：选D.不妨设双曲线的焦点在X轴上，设其方程为:1(a 0,b0)，则一个焦点为b2 aca2 ac 0，解得 e -1a9. （ 10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交uiurC于点 D,且 BF = 2FD，则C的离心率为解析:答案：如图,设椭圆的标准方程为2X2 +a2y = 1（a
8、b0）不妨设B为上顶点，F为右焦点, b2uuu设 D(x，y).由 BFuuur2FD，得(c， b) = 2( X- c，y)，x即c 2(x c)，解得b 2y3c2, D( 3c , - b).b 22厂Jr XJ/；c由D在椭圆上得:/3 2(2C)2a(b)2b2c2 _ 1, c 八 3a23a 3【解析1】33如图,|BF | b2 c2a,uur unr作DD1 y轴于点d,则由BF 2FD，得|OF |IDD1I|BF |BD|2 33,所以|OF | c,即 xD3 223c,由椭圆的第二定义得|FD|3c22a又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a3c23e 32
9、 21，设 D X2, y2，F分BD所成的比为2，0 2x233b 2y2XcX2Xc小 c; yc1 2221 29 c221b212 1e34 a4 b3【解析2】设椭圆方程为第一标准形式x_y2.2a by23yc b 3 0 b2 2b，代入210.( 07全国2理)F|， F2分别是双曲线2x2a2 y b2的左、右焦点,若双曲线上存在点A，使F1AF290且 AF13 AF2，则双曲线的离心率为（B.10c.152D.5AF1 - AF2 = 2AF2 = 2a 解222?(AFJ2+(AF2)2= (2c)2Ia 2c?e 10V1022 x11.椭圆2a1（a 0,b 0）的
10、左焦点为f,若过点f且倾斜角为45的直线与椭圆交于A b两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率 e为：。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单, 运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点a xa, yA ，b xB,yB ，由焦半径公式可得a exA3a exB2则 2(aexA)3(aexB)，变形 2(aexAaexB)aexB,所以 2e(xA Xb)exB因为直线倾斜角为45，所以有2e?AB2AB,所以BEADAC2 AB2AD BEAC1?3abflAB e 5提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将
11、向量比转化为横坐标的关系。焦半径 是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及 的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）：1 12-lBF -?5IAB ee51 AF1 ?3 ABee512.（ 10理）（20）（本小题满分12分）2x设椭圆C：2a2 y b21（a b 0）的左焦点为f，过点f的直线与椭圆c相交于A，b两点，直线Iuur的倾斜角为60, AFuuu2FB.椭圆c的离心率解：设 A(n, yj, B(x2,y2)，由题意知 y1 o.（I）直线I的方程为y3( x c)，其中ca2b2 .y联立 x22 a3(x
12、c),y2得(3a2 b2)y2 2 3b2cy 3b4 01b21解得y13b2 (c 2 a)2 23a b,y23b2 (c 2a)2 23a buur uuu 因为AF 2FB，所以 y1 2y2.3b2(c 2a)3b2(c 2 a)3a2 b22?3a2 b2ce -a13. A是椭圆长轴的一个端点,O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P,使/ OPA,则椭圆离心率的围是22解析：设椭圆方程为x2a2b2 =1(ab0),以A为直径的圆:x2 ax+y2=0,两式联立消y2 ,2得害x2aax+b2=0.即 e2x2 ax+b2=0,该方程有一解 X2, 一解为a,由韦达定理X2= a,0e2v X2 v a,2 v
