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1、三角形、梯形中位线定理应用练习课教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册P176 P181【教学目标】1进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理；2能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算；3通过例题和练习，使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法；4培养学生思维能力和归纳、概括能力，提高解题能力。【教学重点】三角形、梯形中位线定理的应用【教学难点】证（解）题思路分析和辅助线的作法【教学方法】题组教学法【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件等【教学设计】一、复习题组1知识要点(1)如图 1，三角形中位线性质定理的条件是，A结论是；DE三角形中位
2、线判定定理的条件是，B（图 1）C结论是。(2)如图 2，梯形中位线性质定理的条件是，AD结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是，CB（图 2）结论是。2基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1) 全等三角形对应边相等；(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(4) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6) 直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半；(7) 平行四边
3、形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。二、基本题组1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；3顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。9顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。系统小结，深刻理解12已
4、知 D、E、F 是 ABC 各边的中点， 则 DEF 与 ABC 的周长比为，面积比为。13如图 3，在 ABC 中， D、 E、 F 是 AB 的四等分点， D、 E、 F 是 AC 的四等分点， BC=28 ，则 DD=，EE =，FF =。14如图 4，在 ABC 中， D、 E 是 AB 边的三等分点， D、 E 是 AC 边的三等分点，若BC=18 ，则 DD=，EE =。15如图 5，在梯形 ABCD中， AD/BC ， E、 F 是 AB 的三等分点， EE / FF / BC ，分别交 CD 于E、 F。若 BC=28 ， AD=10 ，则 EE =，FF =。AADDADEE
5、DDFEEFFEEFBCBCB（图 5）C（图 3）（图 4）16直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A 相等且平分B 相等且垂直C垂直平分D 垂直平分且相等17以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（）A 平行四边形B 矩形C菱形D 正方形三、教练题组例 1已知：如图 6，在梯形 ABCD 中， AB/CD ，以 AD 、 AC 为边作 ACED ，EDC 的延长线交 EB 于 F。C FD求证： EF = FB。注 1本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA注 2本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。(1) 延长 EC ，交 AB 于
6、点 G（如图 7）；(2) 延长 EC ，交 BA 的延长线于点 G（如图 8）；（图 6）小结构造三角形中位线(3) 连结 AE ，交 CD 于点 G（如图 9）；(4) 过点 E 作 EGAB ，分别交 DF、 AB(5) 过点 E 作 EG/CD ，交 AD 的延长线于(6) 过点 F 作 FG/AD ，交 AB 于 G（如图于 G、 H（如图 10）；G（如图 11）；12）；构造梯形中位线构造全等三角形(7)过点 F 作 FG/AC ，交 AB 于 G（如图 13）；(8)过点 B 作 BG/AD ，交 CF 的延长线于，连结EG（如图 14）。构造平行四边形EEEEDCF D CF
7、DGCFDCF GAGBGABABAHB（图 7）（图 8）（图 9）（图 10）GEEEEDCFDCFDCFDCFGABAGBAGBAB（图 11）（图 12）（图 13）（图 14）注重点研究图7、8、 9、 11 的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。例 2已知：如图15，在 ABC 中， AB=AC ， E 是 AB 的中点，延长AB 到 D ，使 BD=AB 。求证： CD=2CE 。C证法一：取 AC 的中点 F，连结 BF （如图16）。证法二：过点B 作 BF/CE ，交 AC 的延长线于 F（如图 17）。EBDA证法三：延长CE 到 F，使 EF=CE
8、，连结 FA 、 FB（如图 18）。（图 15）FCCCFAEBDAEBDAEBDF（图 16）（图 17）（图 18）例 3已知：如图 19，在 ABC 中， B=2 C， AD BC 于 D， E 是 BC 的中点。求证： AB=2DEA分析： (1)要证 AB=2DE ，只需证等于 AB 一半的线段等于DE或等于 DE 的 2 倍的线段等于 AB 。(2)找等于 AB 一半的线段有三种方法：BDE一是只取 AB 的中点，但这不利于问题的证明；（图 19）二是构造以 AB 为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF；三是构造以 AB 为第三边某三角形的中位线，再证此
9、中位线等于DE。证法一：取 AB 的中点 F，连结 DF、 EFAA（如图 20）。（以下证明略）FF证法二：取 AC 的中点 F，连结 DF、 EF（如图 21）。BDECBDE（以下证明略）（图 20）（图 21）例 4（选讲）已知：如图22，BM 、 CN 是 ABC 的角平分线，AAE BM 于 E， AFCN 于 F。NM求证： EF / BC 。FE分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线”B（图 22）和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。MA证明：延长 AF 交 BC 于 G，延长 AE 交 BC 于 H。（以下略）E思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23），PBC结论是否还成立？如何证明？（图 23）四、巩固题组A1已知：如图 24， AD 是 ABC 的中线， E 是 AD 的中点，FAE 的延长线交 AC 于 F。E求证： BE = 3EF 。BDC（图 24）2已知：如图 25，在菱形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， EF AC ，AE交 AB 于 G，交 CB 延长线于 F。G求证： GE=GF。FBC（图 25）3（选做）NM已知：如图 26，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， E、 F 分别是 AD 、 BCAE的中点，延长BA 、 CD，分别交 FE 的延长线于 M 、N 。
