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1、二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义A二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a乂0，而b,c可以为零二次函数的定义域是全体实数A二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(xhI+k的形式，其中ib74acb2h=，k=2a4a 二次函数由特殊到一般，可分为以
2、下几种形式：y=ax2；y=ax2+k；y=a(xh)2:y=a(xh+k；y=ax2+bx+c. 二次函数解析式的表示方法A般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a丰0)；A顶点式：y=a(xh)2+k(a，h，k为常数，a丰0)；A两根式：y=a(xx)(xx)(a丰0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标).A注意：任何二次函数1的解析2式都可以化成1一般2式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.A二次函数y=ax2的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向
3、上(0,0)y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.a0时，y随x的增大增大而减小；x0向上(0,c)y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.a0时，y随x的增大而减小；x0向上(h,0)X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0.ah时，y随x的增大而减小；x0向上(h,k)X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.ah时，y随x的增大而减小；x a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a 对称轴:平行于y轴
4、（或重合）的直线记作x=-.特别地，y轴记作直线x=0.2ab4ac-b2A顶点坐标坐标：（，2a4a 顶点决定抛物线的位置几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线y二ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a丰0.当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a0的前提下，b当b0时，-20，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b=0时，上=0，即抛物线的对称
5、轴就是y轴；2a当b0时，-2a，即抛物线对称轴在y轴的右侧.在a0时，-0，2a即抛物线的对称轴在y轴右侧;当b=0时，-=0，2a即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，-常数项c当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c公式法y=ax2+bx+c=x+?I2a丿b4ac-b2b(，),对称轴是直线x=.2a4a2a 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y二a(xh+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x二h. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所
6、以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：y二ax2+bx+c已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：y二a(x-h+k已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、x2，通常选用交点式：y=a(x-x)(x).12直线与抛物线的交点 y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c). 与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c). 抛物线与x轴的交点：二次函数y
7、=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x、x，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根抛物线与x轴的12交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点OA0O抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)OA=0O抛物线与x轴相切； 没有交点OA 平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.一次函数y=kx+n(k丰0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+cC丰0)的图像Iy=kx+nG的交点，由方程组 关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴
8、对称后，得到的解析式是y=ax2bxc；y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=a(x-h)2-k； 关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2bx+c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k； 关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=ax2+bxc；y=a(xh)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2k； 关于顶点对称b2y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=ax2bx+c；2ay=a(xh)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=a(xh)2+k. 关
9、于点(m,n)对称y=a(xh)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=a(x+h一2m)2+2n一k 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(xh匕+k，确定其顶点坐标(h,k)；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：
10、y二a;2向上(k0)【或下(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h三点式。1, 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(w3，0)，B(2扌3，0)，C(0，-3)三点，求抛物线的解析式。2, 已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2，3)，求抛物线的解析式。顶点式。1, 已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2，1)，求抛物线的解析式。2, 已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3，1)，求抛物线的解析式。交点式。1, 已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。12, 已知抛物线线与
11、x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线丫=-a(x-2a)(x-b)的解析式。定点式。15-a1,在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=-X2+x+2a-2经过x轴上一定点Q,直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。2, 抛物线y=X2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3, 抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。A平移式。1, 把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。2, 抛物线y二-x2+x-3向上平移，使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。1, 抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距
