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1、饮酒驾车的数学模型（CUMCM-2004C题）一 、摘要本题是关于一个饮酒驾车的数学模型。因为酒精在一个房呈均匀分布，从吸收室到中央室按照一定的规律进行吸收和排除。所以根据不同时刻的吸收与排除情况，为了研究酒精的吸收和排除的动态过程，我们对市场上酒的分析调查为参考资料。以传统的常微分方程理论来建立控制饮酒驾车模型方程与曲线拟合的模型,近似于房室模型来解决.通过matlab数学软件求解模型，得到相关结果。最后从模型方程跟实际对比分析中找出实际与理论的差异。关 健 词 ：常微分方程 曲线拟合 房室模型 二、 问题的提出在2003年全国道路交通事故死亡数字的10.4372万中饮酒所造成的事故占着相当
2、大的比例。针对这一比例所造成的事故国家质量验检局与2004年5月31日发布的新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准规定了驾驶人员血液中的酒精含量。新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。为了减少和预防事故发生,保证人民的生命财产的安全,我们建立模型对饮酒驾车进行分析,为政府提供一些相关资料的参考。三、问题的分析与假设 (一) 问题分析 因为在1个小时以内酒精未达到机体最大消除力时，假设在吸收过程仍符合一级
3、动力方式消除。因为按酒精的一般规律，酒精的清除符合零级动力学方式，所以我们可以假设在一开始喝酒的过程时，酒精的排除符合零级动力方学方式。另一种情况就是酒在长时间内喝的，近似于口服药液。根据表格数据我们可知，酒精在血液中的浓度随时间的变化而变化（二） 问题假设1. 假设在酒精的吸收收速率及排除速率，与该室的酒精浓度成正比。2. 假设机体分为中心室和吸收室（如图1），且两个室的容积在过程中保持不变。3. 假设当酒精进入中心室时，吸收和排除的数量相比，吸收可以忽略。4. 假设酒精在体内作用没有性别差异,没有种族差异。吸收室中心室 图1 一室模型（三）参数说明1、 假设酒精在吸收室的浓度为 ，中央室的
4、浓度c(t),吸收率为，消除速率为k;2、 假设人体中心室的容量为v和吸收室的容量为；3、 假设一个正常人的体重为70kg,每瓶啤酒的体积为600ml;四：模型的建立实验数据如表1：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774表1由上述数据分析作插值运算并绘图（见图2）：（程序见附件）图2由此我们可做相应推断:a) 酒精在人体内的吸收和排除的曲线图中含有一个波峰,固可推出此时酒精在人体内的含量达到最大值，相应的人体内的酒精
5、的排除速率也达到最大值。b) 浓度在持续快速增加了大约2个小时后,开始下降。因为酒精的吸收类似于医学上药物动力学研究的药物代谢过程，因此我们按药物动力学建立相关模型。酒精被人体吸收进入机体后随血液输送到全身，不断的被吸收，分布代谢，最终排出体 。现在我们假设血液中的酒精浓度为c(t),建立一个一室模型，将整个机体看作一个整体。（一）、酒精的吸收阶段解得 （）对(1)式取对数得记，由实验数据用最小二乘法拟合中的参数.用matlab软件作最小二乘法拟合可得到，所以得 （ 2 ）（二）、酒精的排出阶段因为一开始喝酒时，就有排出过程，当酒精未达到机体最大消除能力时（主要是未超出催化生物转化的酶的饱和限
6、时），都将按一级动力学方式消除，当其量超过机体最大消除能力时，将只能按最大消除能力这一恒量进行消除，变为零级消除动力学方式，即出现消除动力学模型转换。根据零级动力学原理，得：解得 （ 3 ）根据表1的实验数据,用最小二乘法拟合下面方程组中的参数：得所以有 （4）图3（三）、较长时间内喝酒设t=0时刻酒精含量为d,则吸收室的酒精浓度为的微分方程为, 其中 解得 (5)中心室的酒精浓度与成正比的排条(比例系数k)与成正比的吸收(比例系数),再考虑到中心室和吸收室的容量比例为,就得到的微分方程， （6）将(5)式代入(6)式解得由非线性最小二乘拟合解得, , .所以 （7）画出曲线，与表1中给出的实
7、测数据非常吻合，见图4，说明建立的模型比较理想。图4（四）、模型分析与检验1、因为大李在12点钟喝完,过了6个小时检查,根据式(7)得出，小于20,所以符合驾车标准.接着又喝了,过了8个小时检查,此时的初状态为C(6),同样根据式(7)得出C(8) 32.1266大于20,所以定为饮酒驾车.2、（1）由于酒是在短时间喝完三瓶,不考虑其吸收过程,所以可以根据式(4)得:即可得到t2.004,所以大约在2个小时内就会违反上述的标准。（2）假定在2个小时喝完这三瓶酒，根据第三个模型，即式（7），我们可以得出，求得的t小于5.664小时，所以我们可以知道在长时间内喝三瓶酒，大约在5.664小时内就会违
8、反上述的标准。3、由上述的拟合曲线可知当酒精的消除速率等于吸收速率时,血液中的酒精浓度也达到最大值。固由式（7）易知的值为56.99122，固只需求出酒精的最大消除速率达到的时间即可求出时间值。由 可得，固由排除率，可推得 （8）则由式（7）的，分别为2.0079，0.1855，代入（8）得1.31小时所以，我们根据模型可知酒精在血液中饮酒后1.31小时含量最高。4、就一般用餐习惯而言，每餐间隔时间为4到5个小时，根据上述模型得出来的数据可知人在每餐喝酒的情况下，由式（7），可得当t=5时，人体血液酒精浓度为22.544毫克/百毫升，大于20毫克/百毫升的国家标准。由于酒精在人体内95%要经过
9、肝脏的代谢作用，而根据生理常识酒精在肝脏具有一定的累积的作用，所以人天天喝酒血液浓度就会由于累积而大于国家的最新规定。 5、给驾车的司机的一点忠告根据报道，全国道路交通事故死亡人数不断上升，其中饮酒驾车造成的死亡占有相当的比例，应如何处理饮酒驾车问题与我们每个公民息息相关，所以我们的模型就是想给我们会喝酒的司机一点小小的忠告和应注意的一些方法，根据新的国家标准，可知c(t) 20毫克/百毫升为驾车标准，想喝酒的司机要注意下面一些问题：(1) 上述模型可知，在开始这时间内浓度上升，即在喝少量酒的情况下，还可以短时间驾车。(2) 过了一段时间酒精的浓度达到最大值，浓度要开始下降，即要在喝完酒休息长时间方可驾车。参考文献1、 萧树铁，数学实验，北京，高等教育出版社，1999年7月2、 姜启源，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，2003年8月3、 魏巍，MATLAB应用数学工具箱技术手册，北京，国防工业出版社，2004年1月4、 http:/ 2004年4月27日 16:30 ，登录日期：2004年9月17-20日4
