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1、定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考 什 么怎么 考1理解定积分的实际背景，理解定积分的基本思想，理解定积分的概念.2理解微积分基本定理的含义.1考察形式多为选择题或填空题.考察简朴定积分的求解3.考察曲边梯形面积的求解.4.与几何概型相结合考察归纳知识整合定积分(1)定积分的有关概念：在f(x)x中,a，b分别叫做积分下限与积分上限,区间a，b叫做积分区间,(x)叫做被积函数，x叫做积分变量,f(x)x叫做被积式（)定积分的几何意义当函数f()在区间,b上恒为正时,定积分f(x)x的几何意义是由直线xa，xb(b)，y0和曲线yf（x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).一般
2、状况下，定积分f(x)x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(3)定积分的基本性质： k(x）dxkf(x)dx.f（x）f2(）dx=1()dxf2(x)dxf（)dxf(x)dx+f（x）dx.探究1若积分变量为,则f(x）x与f()d与否相等？提示：相等.2.一种函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一种函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多种,这些原函数之间都相差一种常数,在运用微积分基本定理求定积分时，只要找到被
3、积函数的一种原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有助于计算.3.定积分f(x)-g()dx（f(）(x）)的几何意义是什么？提示：由直线=a，=b和曲线f（），y=g(x）所围成的曲边梯形的面积.微积分基本定理:如果f()是区间，上的持续函数，并且F(x)f（x），那么（)dxF(b)F（a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式. 为了以便，常把(b)F(a)记成F（x)，即(x）dF()=(b)-（a)课前预测:1.dx等于（ )A.2ln2 B.ln .ln 2 .ln 22.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2-t+2，质点作直线运动，则此
4、物体在时间，2内的位移为（ ). B. C. D.(教材习题改编)直线x0，x=2,y=0与曲线y=2所围成的曲边梯形的面积为_.4.(教材改编题)dx_.由y=，直线y=-x+所围成的封闭图形的面积为_考点一 运用微积分基本定理求定积分例1运用微积分基本定理求下列定积分:(1）(22x1）x;(2)(sinx-cos x）dx；(3)x()dx;(4)dx;（5) in2dx求定积分的一般环节：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（)分别用求导公式找到一种相应的原函数；(4）运用牛顿莱布尼
5、兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.强化训练：1.求下列定积分：(1）|xdx;(2)d.考点二 运用定积分的几何意义求定积分例2 d_.变式：在本例中，变化积分上限,求dx的值. 运用几何意义求定积分的措施(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.()运用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小强化训练：.(福建模拟)已知函数f(x)=(os -sn t)dt(x0)，则f（x)的最大值为_考点三：运用定积分求平面图形的面积 例3(山东高考)由曲线y=,直线yx及y轴所围成的图形的面积为（)A. .4 C. D.
6、6变式训练：若将“y2”改为“x2”，将“y轴”改为“轴”，如何求解？运用定积分求曲边梯形面积的环节(1）画出曲线的草图()借助图形,拟定被积函数,求出交点坐标，拟定积分的上、下限.()将“曲边梯形”的面积表达到若干个定积分的和或差(4)计算定积分,写出答案.强化训练：3 (郑州模拟)如图,曲线y=x2和直线0，x1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为( )A. BC.D.考点四：定积分在物理中的应用例 列车以7m/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a0.4m/s2,问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动?1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v有关时间t的函数是=（
7、t)(v()），那么物体从时刻ta到t=b所通过的路程为(t）dt;如果做变速直线运动的物体的速度v有关时间t的函数是vv（)(t)0),那么物体从时刻a到t=b所通过的路程为v（t)d.变力做功问题物体在变力F(x）的作用下,沿与力F(x)相似方向从x=到x=b所做的功为F(x)x强化训练：.一物体在力(x)=(单位:N）的作用下沿与力(x)相似的方向运动了米,力(x）做功为().44 J 4 C48 D.50 J1个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的核心是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算条性质定积分的性质(1）常数可提到积分号外；(）和差的积分等于积分的和差
8、;（3)积分可分段进行3个注意定积分的计算应注意的问题()若积分式子中有几种不同的参数，则必须分清谁是积分变量;(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不不不小于积分下限;(3)面积非负， 而定积分的成果可觉得负 易误警示运用定积分求平面图形的面积的易错点典例 （上海高考）已知函数yf(x)的图象是折线段BC,其中A(0，0),B,C（,0).函数yf(x)（1)的图象与x轴围成的图形的面积为_1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的有关知识和运算能力不够致错.解决运用定积分求平面图形的面积问题时,应解决好如下两个问题:(1)熟
9、悉常用曲线,可以对的作出图形,求出曲线交点,必要时能对的分割图形；()精确拟定被积函数和积分变量.变式训练：1.由曲线yx2，y围成的封闭图形面积为( )A. C. D.(山东高考)设0若曲线y=与直线x，y=所围成封闭图形的面积为a2,则a_. 定积分与微积分基本定理检测题一、选择题（本大题共6小题，每题5分，共30分)1dx( ).lxln2x B- C. D.2.(湖北高考）已知二次函数yf（x）的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为(）A. B C.3设函数(x）=ax+b(a0），若f(x)dx3f(x0）,则0等于( )A. B. C. D24.设(x)则f()dx(). B.
10、 C. 不存在5.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,秒时刻的速度v4010t,则此物体达到最高时的高度为( ). m B. mC. D. （青岛模拟）由直线x-，x=，与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()A. B.1 D.二、填空题(本大题共小题，每题5分,共15分)7.设asin xdx,则曲线y=f（x)x+-2在点(1,f()）处的切线的斜率为_.8.在等比数列a中,首项a1=，a4=(12x)d,则该数列的前5项之和S5等于_.9(孝感模拟)已知a，则当(cosxsin x)dx取最大值时，a_.三、解答题(本大题共小题,每题12分,共分)0计算下列定积分:(1） ixdx；
11、 （）2x； (3)e2xdx11如图所示，直线y=kx分抛物线yx-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值1如图，设点从原点沿曲线=x2向点(,4)移动，直线P与曲线y=x围成图形的面积为S1，直线OP与曲线yx2及直线=围成图形的面积为2，若S=S，求点P的坐标. 备选习题1一物体做变速直线运动，其v-曲线如图所示,则该物体在 间的运动路程为_.2计算下列定积分：（1）(3x2x+1)dx； （2)dx.3求曲线y，=2x，所围成图形的面积.某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动，且速
12、度v(单位:m/s)与时间t(单位:s）满足函数关系式(t)某公司拟购买一台颗粒输送仪,规定1 mn行驶的路程超过7 63 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？ 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测:D.A . 4. .-2ln2例1：（1). （2）. ().（)4e2ln 2.(5)变式:解:(1)|x1|故|1|x=(1x)dx+(x1)x=+=1(2） d|n x-cos xx （cosxsin x)dx(inx-os x)dx（i+cosx)+(cos xsin x)-1+(-1+)=22.例：自主解答dx表达y=与x0,x=1及y所围成的图形的面积由y得(x1)2y=(y），又0x1，y=与x0,=及=所围成的图形为个圆，其面积为. .互动:解:dx表达圆()22=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,因此 dx= 变式21 例3 互动:. 变式.D例4:自主解答a0. /s2,=72 km/h=20m/s.设t s后的速度为v，则0-0.令v,即2.4t=得=50 （s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为,则svd(200.4t)t（200.2）=2050.502=00（m），即列车应在进站前5
