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1、一份耕耘 一份收获高二数学第二章 数列 复习(文)丁红 2013.09.26一、知识梳理 数列概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式:如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即. 3.递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即或,那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中,其中是数列的递推公式.4.数列的前项和与通项的公式; .5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递
2、减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得. 等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式,为首项,为公差.前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:是与的等差中项,成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法:(,是常数)是等差数列;中项法:()是等差数列.(3)通项法:是等差数列.(
3、4)前n相和法:是等差数列.5.等差数列的常用性质数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.;(,是常数);(,是常数,)若,则;若等差数列的前项和,则是等差数列; 当项数为,则;当项数为2n+1时,则,则. , 当项数为,则.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式通项公式:,为首项,为公比 .前项和公式:当时,当时,.3.等比中项如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即:是与的等比中项,成等比数列
4、.4.等比数列的判定方法定义法:(,是常数)是等比数列;中项法:()且是等比数列.通项法:是等比数列.前n相和法:是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.若,则;若等比数列的前项和,则、是等比数列.二、典型例题A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)1)根据基本量求解(方程的思想)1、已知为等差数列的前项和,求;2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为
5、,中间两数之和为,求这四个数.2)根据数列的性质求解(整体思想)1、已知为等差数列的前项和,则 ;2、设、分别是等差数列、的前项和,则 .3、设是等差数列的前n项和,若( )4、等差数列,的前项和分别为,若,则=( )5、已知为等差数列的前项和,则 .6、在正项等比数列中,则_。7、已知数列是等差数列,若 ,且,则_。8、已知为等比数列前项和,则 .9、在等差数列中,若,则的值为( )10、在等比数列中,已知,则 . 11、已知为等差数列,则 12、等差数列中,已知B、求数列通项公式1) 给出前几项,求通项公式3,-33,333,-3333,333332)给出前n项和求通项公式1、; .2、设
6、数列满足,求数列的通项公式3)给出递推公式求通项公式a、已知关系式,可利用迭加法或迭代法;例:已知数列中,求数列的通项公式;b、已知关系式,可利用迭乘法.例、已知数列满足:,求求数列的通项公式;c、构造新数列1递推关系形如“”,利用待定系数法求解例、已知数列中,求数列的通项公式.2递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解例、,求数列的通项公式.3递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解例、已知数列中,求数列的通项公式.4递推关系形如,两边同除以例1、已知数列中,求数列的通项公式.例2、数列中,求数列的通项公式.d、给出关于和的关系例1、设数列的前项和为,已知,设,求数列的通项公式例2、
7、设是数列的前项和,.求的通项;设,求数列的前项和.C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.例2、已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn1=0(n2),a1=.求证:是等差数列;2)证明数列等比例1、设an是等差数列,bn,求证:数列bn是等比数列;例2、设为数列的前项和,已知证明:当时,是等比数列;求的通项公式D、求数列的前n项和基本方法:1)公式法,2)拆解求和法.例1、求数列的前项和.例2、求数列的前项和.例3、求和:25+36+47+n(n+3)2)裂项相消法,数列的常见拆项有:;例1、求和:S=1+例2、求和:.3
8、)倒序相加法,例、设,求:;4)错位相减法,例、若数列的通项,求此数列的前项和.5)对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列an的前n项和Sn=12nn2,求数列|an|的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题例1、数列中,当数列的前项和取得最小值时, . 例2、已知为等差数列的前项和,当为何值时,取得最大值;例3、数列中,求取最小值时的值.例4、数列中,求数列的最大项和最小项.例5、设数列的前项和为已知,()设,求数列的通项公式;()若,求的取值范围例6、已知为数列的前项和,.求数列的通项公式;数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.例7、非等比数列中,前n项和,(1)求数列的通项公式;(2)设,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。- 3 -