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1、几何证明中点模型(中级)【知识要点】1、中位线定理：如图，在中，若，则且。2、中线倍长(倍长中线)：如图（左图），在中，为中点，延长到使，连接，则有：。作用：转移线段和角。 注意：在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“X全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”，有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）.3、直角三角形斜边中线定理：如图，在中，为中点，则有：。4、三线合一：在中:（1）；（2）平分；（3），（4）.“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四
2、条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句话说，以这条线为对称轴必定有等腰三角形出现.【经典例题】例1、如图所示，已知为中点，点在上，且，求证：.例2、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：。例3、如图，在中，为的平分线，为的中点，求证：。例4、如图,已知中，为高线，点是的中点，点是的中点.求证： 。例5、如图所示，在中，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证：。 例6、如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延
3、长线于，求证：。【提升训练】1、已知如图，中，是 边上的中线 ,求证：.2、已知：如图，在矩形中，为的中点，交于连结。求证：. 3、已知如图，中，是边的中点，是边的中点，连结并延长交于点. 求证：。4、在梯形中，为的中点，求证：。5、已知：在正方形中，对角线、交于，为的平分线，交于，于 求证： 6、如图，中，的平分线与边的中线垂直，垂足为，且，求的三边长。7、如图，在中，点为中点，于点，求的长。 8、如图，已知中，是的平分线，又是边上的中线，求证。 9、如图，已知中，上的中线,求的长. 10、如图，在中，是的中点，求的正切值.11、已知：如图，中，在上取点，在延长线上取点，连结交于点，若是中点
4、，求证：12、如图，是的边的中点，平分，于点，且，求的周长。13、如图，已知：中,是的中点，。求证：。14、如图,已知中，是的中点，。求证：。15、如图，是中边上的一点，且，是的中线，求证：。16、如图，已知等腰三角形中，平分，垂足为点，求证：。17、已知：如图，于点是中点，求证：。18、如图，在正方形中，是中点，连接，作交于点，交于点，求证：。19、已知：和都是直角三角形，点在上，且，如图，连接，设为的中点，连接。求证：。20、如图，平行四边形中，对角线、相交于点，、分别是、 的中点。求证：（1）（2）.21、请阅读下列材料：问题：如图，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，线段的中点，连结若,
5、探究与的位置关系22、如图，中，是边的中点，于点，若 ,求证：。23、如图，梯形中，是中点，于，求。24、如图，三角形，为上的点，过作，交延长线于，作交于，为中点，连接与，求证：25如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：26、如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N（1）求证：AD=NE（2）求证：DM=MF；DMMF27、如图，等腰梯形中，对角线相交于，点，分别是，的中点，求证：是等边三角形.28、已知如图，的中线、相交于点，F、分别是、的中点，（1）判断和有何关系并证明；（2）求证：。29、如图，在梯形中，于点，是的中点， 是梯形的高。（1）求证：四边形是平行四边形；（2）设，四边形的面积为，求关于的函数关系式。30、已知如图，在四边形中，分别为、的中点；（1）求证：；（2）交、分别于、，若，求证：为等腰三角形。31、点是所在平面内一动点，连结、，并把、的中点、顺次连结起来，设能构成四边形。（1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形；（2）当点移动到外时，（1）的结论是否成立？画出图形，说明理由；（3）若四边形是矩形，则点所在的位置满足什么条件？试说明理由。
