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1、-实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积:设为任意实数,为任意的非零向量。与的乘积是一个向量,记作_模:的模等于的_倍,即_ 方向:(1)当时,规定与的方向_ (2) 当时,规定_(3)当时,规定与的方向_ 由于规定了的模与的方向,这样就能确定了。4.根据实数与向量的乘积的定义,可知与是_的向量5.两个非零向量与平行的充要条件是:存在非零实数,使_6. 实数与向量的乘积满足以下运算律: 设,则(1) (2) (3)7.已知非零向量的单位向量_,方向与向量_例2下列结论中是两向量,则的关系必为三者中的一个两个相等的向量,当它们的起点不同时,终点也一定不同平行向量就是共线向量,共线向量就是平行向量温
2、度有零上与零下,因此温度是向量其中正确的序号为_ 实数与向量的乘积教学目标:1.理解实数与向量乘积的意义,知道的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=,解决简单的几何问题。4.掌握两个向量,平行的充要条件是+=教学重点:1.理解实数与向量乘积的意义,知道的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=,解决简单的几何问题。教学难点:对向量平行的充要条件的理解和运用教学过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1引入新课:已知非零向量
3、 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论:13与方向相同且|3|=3|2-3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题:实数与向量的积 实数与向量的积,记作:定义:实数与向量的积是一个向量,记作: 1|=|20时与方向相同;时 两边向量的方向都与同向当0且1时在平面内任取一点O,作则+由作法知:有OAB=OA1B1 |=|OABOA1B1AOB= A1OB1因此,O,B,B1在同一直线上,|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)=+当0时 可类似证明:(+)=+式成立例1、计算(1)(-3)4 (2) 例2、已知向量与为任意向量,化简:三、非零
4、向量平行的充要条件(向量共线定理)1若有向量()、,实数,使= 则由实数与向量积的定义知:与为平行向量若与平行()且|:|=,则当与同向时= 当与反向时=-从而得:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实数使 =定理:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实数使 =例3、已知,试判断与是否共线。解: E A C B D与共线。 例4、在中,已知分别是的中点,用向量的方法证明:BACOA1B1C1例5、已知,求证:相似实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题: 对于实数m和向量、恒有:;对于实数m,n和向量,恒有:;若(mR),则有:;若(m、nR,),则m=n其中正确命题
5、的个数是 ( )A1 B2 C3 D42、设和为两个不平行的向量,则=2与=+(R)平行的充要条件是 ( )A=0 B=1 C=2 D=3、下列各式或命题中: 若两个非零向量、 满足 (k0),则、同向 正确的个数为 ( )A0 B1 C2 D3 4、点G是ABC的重心,D是AB的中点,则+等于 ()A4B4C6D65、在矩形ABCD中,O为AC中点,若 =3, =2, 则等于 ( )A(3+2) B (32)C (23) D (3+2) 6、若向量方程23(2)=,则向量 ( )A B6 C6 D二、填空题7、已知向量,则43=_8、在ABCD中,=,=,则 =_, =_9、梯形ABCD,A
6、BCD,且,M、N分别是 DC和AB的中点,如图,若=,=,用,表示 和,则=;10、若ABCD的中心为O,P为该平面上一点,则11、设、为二不平行向量,如果k+与+k平行,则k=12、已知M、N是线段AB的三等分点,对平面上任一点O,用来表示,;三、解答题13、如图所示,在任意四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:14、ABC中,=,=,点D、E分别在线段AB、AC上,AD:DB=AE:EC,证明:与平行15、如图,ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证:M、N、C三点共线参考答案一、选择题1.C 2.D 3.C 4.A 5. A 6.C二、填空题7. 8.;9.; 10.11. 12.;三、解答题13.解:,14. 解:,15.解:,即:M、N、C三点共线. z.