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1、增分点 掌握四种函数构造法，破解导数解决不等式问题利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型.利用导数证明不等式， 关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最彳直(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决.题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式， 解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构 造技巧.当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)=x3, g(x) = ln x,进而证明在某个取值范围内不等式f (x) g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x) =f (x) g(x)或6 (x) = g(x
2、) f(x),进而证明h(x)mQ0或() (x)max0(f(x)0)的前提下，也可以类比作商法，构造函数h(x)a为常数)的图象在点(0,1)处的h(x)min1( 6 (x)maxW 1).典例已知函数f(x) =ex-ax(e为自然对数的底数,切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明：当 x0 时，x2 1).(1)求函数f(x)的单调区间及最小值；(2)证明：f(x)Rg(x)在1, +8)上恒成立.典例设函数f(x) = aexln x + ,曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线为y=e(xx 1)+2.(1)求 a, b;(2)证明:f(x)1.解题
3、师说. x 1. x 1对于第(2)问aexln x+ 1的证明，若直接构造函数h(x) = aexln x+- 1,xx求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexln x+更一xv 21”合理拆分为“ xln xxe ，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的 e目的.应用体验2.已知函数f (x) = an. ? + ,曲线y = f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程为 x+2y3 x I 1 x=0.(1)求a, b的值；(2)证明：当 x0,且 xw 1 时，f(x) -x.x 1典例已知函数f (x) =nx(a R),曲线y= f (x)
4、在点(1 , f(1)处的切线与直线 x x+a+ y + 1 = 0 垂直.(1)试比较2 017 2 018与2 018 2 017的大小，并说明理由；(2)若函数g(x) = f (x) k有两个不同的零点 x1, x2,证明：x1x2 e2.解题师说(1)由题意易知(1) =1,可列出关于 a的方程，从而求出 a的值，得到函数f(x)的 解析式.欲比较 2 0172 018与2 0182 017的大小，只需比较f(2 017) , f(2 018)的大小，即需 判断函数y=f(x)的单调性.(2)不妨设X1X20,由g(X1) = g(x2) = 0,可得ln X1 kx1 =ln X
5、1 In X220, ln X2kX2=0,两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为j_X： X X%，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立.应用体验3 .已知函数 f (x) = X2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t0,存在唯一的S,使t=f(s)；(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s = g(t),证明：当te2时，有.v? g t 0, f ； a 1恒成立，求 m的取值范围.解题师说本例第(3)问中，利用不等式的性质，将“ f bjf a 1”等价转化为“ f(b) bbx-2 X? xC (0 , +oo )恒成立，求实数b的取值范围；(
6、3)当 xye1 时，证明不等式 exln(1 +y)eyln(1 +x).升级增分训练1.已知函数 f(x) = (x-1)( x2+ 2)ex-2x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)证明：f(x)x24.g(x) = ln( x+ 1) +2.5 .(理)已知函数 f (x) =ex+m- x3,(1)若曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线斜率为1,求实数m的值;(2)当 命 1 时，证明：f (x) g(x) x3.2 x (文)已知函数 f(x)=(ax 1)ln x +.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线l的方程；(
7、2)设函数g(x) = f (x)有两个极值点 x1, x2,其中x1C(0, e,证明g(x1)g(x2)七4. e6 .已知函数f (x) = -一x+ In x在(1 ,+8)上是增函数 且 a0. ax(1)求a的取值范围；(2)若 b0,试证明 ln -r7.a+ b b b7 .(理)已知函数f (x) =xln x.求f(x)的单调区间和极值；(2)设 A(x1, f(x1) , B(x2, f (x2),且 xxx2,证明:f X2 f X1 - Xl+ X2fX2一Xi2、 X + a(文)已知函数f(X)=， e(1)若f(X)在区间(一8, 2)上为单调递增函数，求实数a
8、的取值范围；(2)若a=0, xg0 时，x2ex.方法演示解：(1)由 f (x) = exax,得 f (x) = ex a.因为 f (0) =1-a=- 1,所以 a=2,所以 f(x) = eX 2x, f (x) = eX2,令 f (x) = 0,得 x= In 2 ,当 xvln 2 时，f (x)ln 2 时，f (x) 0, f(x)单调递增.所以当X=ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2) = eln 2 - 2ln 2 =2In 4 ,f(x)无极大值.(2)证明：令 g(x) = eX-x2,则 g (x)=eX 2x.由(1)得 g (x) = f
9、 (x) f(ln 2) 0,故g(x)在R上单调递增.所以当 x0 时,g(x) g(0) = 1 0,即 x2veX.解题师说在本例第(2)问中，发现“ x2, ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2vex”构造函数，得到“ g(x)=exx2”,并利用(1)的结论求解.应用体验1 .已知函数 f (x) = xln x- 2x, g(x) = ax2+ax2( a 1).(1)求函数f(x)的单调区间及最小值；(2)证明：f(x)Rg(x)在1 , +8)上恒成立.解：(1)f(x)的定义域为(0, +8),. f(x) =xln x 2x,，f (x) = ln x+1
10、 2=ln x 1,由 f (x) 0,得 xe;由 f (x) v 0,得 0v xve,- 函数f(x)的单调递增区间为(e, +8),单调递减区间为(0, e),函数 f(x)的最小值为 f(e) = eln e 2e=e.(2)证明：令 h(x) = f(x) -g(x),- - f (x) g(x)在1 , +8)上恒成立，- . h( x) min 0)x C 1 , + 00 ) ,- h(x) =xln x+ ax2ax2x+2,，h (x) = ln x+1+2ax a2=ln x+2ax a1.令 m(x) = In x+2ax a1, x 1 , 十00),贝U mz (
11、x) = 1+2a, x1 .- x 1, a 1,. rri (x) 0,.mx)在1 , +oo )上单调递增，nmx) m(1) =a- 1,即 h (x) a - 1,a 1, - a- 1 0, 1- hiz (x) 0,1- h(x) =xln x+ ax2 - ax-2x+ 2 在1 , 十00 )上单调递增，h(x) h(1) =0,即 f (x) -g(x) 0,故f(x)g(x)在1 , +8)上恒成立.“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时
12、可以将原不等式合理拆分为f(x) Wg(x)的形式，进而证明 f(x)maxW g(x)min即可，此时注意配合使用导数 工具.在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例设函数f(x) = aexln x + be,曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线为y=e(x x 1)+2.求a, b；(2)证明:f(x)1.方法演示x X 1x 1bex 1解：(1) f (x) = ae In x+ x Tx2(x0),由于直线y=e(x1)+2的斜率为e,图象过点(1,2),f 1 = 2,b= 2,a=1,所以，即解得f 1=e,ae=e,b= 2.(2)证明：由知 f(x)=exln x + (x0), x从而 f (x) 1 等价于 xln xxe-x：构造函数 g(x)=xln x,则 g (x) = 1 + ln x,所以当 xC 0, &时，g (x)0,ee故g(x)在0, 1上单调递减，在 1, +8 上单调递增， ee从而g(x)在(0 , + 00 )上的最小值为 g -=-. e e构造函数h(x)=xe-xe，则 h (x) = e x(1 -x).
