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1、勾股定理综合提高【知识梳理】1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .【性质定理】2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是 _三角形.（且 =90）【判定定理】当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，若a2+b2=c2，则C为_；若c2a2+b2，则C为_； 若c2a2+b2，则C为_.3、勾股数：满足条件a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.常见的勾股数组有： 3、4、5（连续整数）； 5、12、13； 6、8、10（连续偶数）；7、24、25； 8、15、17； 9、12、15； 9、40、41；10、24、26； 11、60、61； 15、20、25这
2、些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组. 勾股数通式巧总结：通式一：（3,4,5），（6,8,10）、（是正整数）通式二：（5,12,13），（7,24,25），（9,40,41） 、（是正整数）通式三：（8,15,17），（12,35,37） 、（是正整数）4、勾股定理的证明：5、直角三角形中的几个性质说明：（1）直角三角形斜边上的中线等于_. (2) Rt中30角所对的边等于_.三边比为_. (3) 45的等腰直角三角形三边比为_.6、勾股树：(1)以直角三角形的三边为边向外作等边三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系； 等边三角形边长为，则高=_，面积=_.(2)以直角三角形的三边为斜边向形
3、外作等腰直角三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图)，探究S1S2与S3的关系7、最短距离问题：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）.8、非负性：绝对值 平方项（或偶次方项） 二次根式9、数轴表示数：如在数轴上作出表示 、 、1-与 +1的点10、方法：见比设参【经典易错例题透析】类型一：勾股定理及其逆定理的应用1RtABC中，斜边BC2，则AB2AC2BC2的值为( )(A)8 (B)4(C)6(D)无法计算2.(易错题)下列几组数据：0.6, 0.8, 1 12,13,5； 7,8，15 40,41,9.其中是勾
4、股数的有（ ）(A)4组 (B)3组(C)2组(D)1组3.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的与为_.4. 已知与互为相反数，则以为三边的三角形是 三角形.5.已知a,b,c是ABC的三边长，且满足关系式，则ABC的形状为_.6. 如图，在RtABC中，C=90，AC=3.将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为（） A. B. C. D.7. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风
5、车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_类型二：利用勾股定理证明、计算1如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_2在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1S2S3S4_3.如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?4.在ABC中，C=90，点M是BC的中点，MDAB于点D，求证：AD=AC+BD类型三：关于勾股定
6、理的实际应用 1.如图,圆柱形容器中,高为8cm,底面周长为12cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_cm (容器厚度忽略不计).类型四：勾股定理与乘法公式变形综合应用1.（巧思妙解题）在RtABC中，C=，AC+BC=15，AB=11，则RtABC的面积为_.2如图，RtABC中，C=90，CDAB于点D，AB=13，CD=6，则AC+BC等于_.3.如右上图中大、小正方形的面积分别为65与9，那么一个直角三角形的两直角边的与等于_.类型五：勾股定理与等腰直角三角形综合应用 1.如图，在中，AC=BC，D、E是边AB上的两点，AD=3，BE=4，求的面积ABEDC2. 如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数.3如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD面积为8，则BE的长为_4如图，P是正ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为_，APB=_
