《高中数学43导数在研究函数中的应用433三次函数的性质：单调区间和极值学案湘教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学43导数在研究函数中的应用433三次函数的性质：单调区间和极值学案湘教版选修2-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值三分层训练 J解)由偏，电一检测一、基础达标1.函数 y=f(x)在a, b上A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y=f(x)在a, b上的最大值一定大于极小值.2 .函数y = xe-x, x6 0,4的最大值是()A 0B.1C.3 D. 3eee答案 B解析y= exx-ex= ex(1 x),令y=0,.x=1, .f(0)=0,f(4) =3,f(1)=e 1 = 1,.f。)为最大值，故选 B.eeln x3 .函数y=J的最大值为 x()A
2、e 1 B . e C . e2 D.107答案 A=x=0.( x。)解得 x= e.当 xe 时，y 0;当 0cx0.1、y极大值=f(e)=,在te乂域(0e+ oo )内只有一个极值,一 1所以 ymax=.4.函数y =4xx2+1在定义域内A.有最大值2,无最小值B.无最大值，有最小值2C.有最大值2,最小值2D.无最值ln x x ln x x1 In x答案 C4 x2+1 4x 2x4x2+4=xrr= x2+1 2=0，得*=1.当*变化时，y , y随x的变化如下表:x(OO, 1)-1(-1,1)1(1 , +)y一0十0一y-4极小 值极大 值由上表可知x=1时，y
3、取极小值也是最小值2； x=1时，y取 极大值也是最大值2.5 .已知函数f(x) =ex2x+a有零点，则a的取值范围是.答案(一s, 21n 2 -2解析 函数f(x)=ex 2x+a有零点，即方程ex2x + a=0有实 根，即函数g(x)=2xex, y=a 有交点，而 g (x) = 2ex,易知函数 g( x)= 2x ex在(s, In 2)上递增，在(In 2 , +-)上递减，因而 g(x)=2x ex的值域为(-0, 2ln 2 2,所以要使函数 g(x)=2x ex, y = a 有交点， 只需aw 21n 2 2 即可.，、兀，6 .函数y = x + 2cos x在区
4、间0, 2上的最大值是.答案看+市解析 V, =1 2sin x = 0, x= 比较0, 一处的函数值，662得 ymax= 6+ F.7 .已知函数f(x)=2x3 6x2+a在2,2上有最小值一37,求a的 值及f(x)在-2,2上的最大值.解 f (x) =6x212x=6x(x 2),令f (x)=0,得 x= 0 或 x = 2,当x变化时，f (x) , f(x)的变化情况如下表：x-2(-2,0)0(0,2)2f (x)十0一0f(x)40 + a极大值a48+a.二当 x= 2 日寸，f(x)min= 40 + a= 37,得 a=3.当x=0时，f(x)的最大值为3.、能力
5、提升8 .设直线x= t与函数f(x)=x： g(x)=ln x的图象分别交于点 MN,则当| MN达到最小时t的值为A. 1B. 1 C. ( D./ 222答案解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出 | MN = y=t2ln t (t0).2t+也t_啦,1 2t21 2 t + 2 t 2y = 2t =y t tt4 -21JIIto.234工当 0cte,y 时，v 0,可知y在*, +s上单调递增.,| MN有最小值.故当t =9 . (2014 湖北重点中学检测)已知函数f(x)=x3 tx2 + 3x,若对于任意的aS 1,2 , b6 (2,3，函数f(x)在区间a,
6、 b上单调递减,则实数t的取值范围是A.(一巴 3 B .(一巴 5 C . 3, +8) D . 5 , 十OO答案 D解析 f (x) =x3tx2 + 3x, . f (x) = 3x2 2tx+3,由于函数 f(x)在(a, b)上单调递减，则有f (x)wo在a, b上恒成立，2,即不等式3x 2tx +3W0在a, b上恒成立，即有tn3x + 1在a, b上恒成立，而函数 y 2 x= 3x + 1 在1,3上单调递增，由于 aS 1,2 , b6(2,3,当 b 2 X=3时，函数y=m x+1取得最大值， 2 X即 ymax= 1 3 + ； =5,所以 t 5,故选 D.
7、23 。 3。10.如果函数f(x)=x 2X + a在1,1上的取大值是2,那么f(x)在-1,1上的最小值是.-1答案1解析 f (x)=3x23x,令 f (x) =0 得 x=0,或 x=1.rr5 r 1. f(0)=a, f( 1) = -2+a, f(1)= -2 + a, f (x) max a= 2.5，一 1 f (x) min = 2 + a= 211.已知函数 f(x) =x3 ax2+bx+ c(a, b, c6R).(1)若函数)在*= 1和x = 3处取得极值，试求a, b的值；(2)在(1)的条件下，当x62,6时，f(x)2|c|恒成立，求c 的取值范围.解(
8、1) f (x) =3x2 2ax+ b,:函数*)在*=一1和x= 3处取得极值， 1,3是方程3x2-2ax+b= 0的两根.2a=3b= - 91 + 3 = .a3b-1X3=-3由知 f(x)=x33x29x + c,f(x) =3x26x9,令 f(x)=0,得 x=1 或 x = 3.当x变化时，f (x) , f(x)随x的变化如下表:x(一0, 1)-1(一1,3)3(3, +s)f (x)十0一0十f(x)极大值c+5极小值c27尸而 f(2)=c2, f(6) =c + 54,当x6 -2,6时，f(x)的最大值为c+54,要使f(x)2|c|恒成立，只要c + 542|
9、c|即可，当 cAO 时，c+5454;当 c0 时，c+54 2c,.cc18.c6(s, 18)U(54, +s),此即为参数c的取值范围.12.已知函数 f (x) = x3+3x2 + 9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f (x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最 小值.解 (1)f (x) =-3x2+6x + 9.令 f (x) 0,解得 x3,函数f (x)的单调递减区间为(一, 1), (3, +).(2)2)=8+1218+ a= 2 + a,f(2) =-8+12+18+ a = 22 + a, /.f(2) f(-2).于是有 22 + a=
10、20,.2= 2. - f (x) = x + 3x + 9x 2. 在(1,3)上f (x)0,.f(x)在1,2上单调递增.又由于 f(x)在 2， 1 上单调递减， .f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值， f ( 1) = 1 + 39 2 = 7,即 f (x)最小值为-7.三、探究与创新13. (2013 新课标 I )已知函数 f(x) =x2+ ax+ b, g(x) =ex(cx + d), 若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点R0,2),且在点P处有相 同的切线y = 4x + 2.(1) 求 a， b， c ， d 的值；(2)若xn 2
11、时，f(x)wkg(x),求k的取值范围.解(1)由已知得 f(0) =2, g(0) =2, f (0) =4,g (0)=4,而 f (x)=2x + a, g (x) =ex(cx + d + c), . .a=4, b= 2, c=2, d= 2.(2)由(1)知，f(x) =x2+4x+2, g(x) =2ex(x+1),设函数 F(x) = kg(x) f (x) =2kex(x+1) x2 4x 2(x 2),F (x) =2kex(x + 2) -2x-4= 2(x + 2)( kex1).有题设可得F(0) 0,即k1,令 F (x)=0得，x1 = ln k, x2= 2,
12、若 1wke2,则一2x1W0, 当 x (2, x1)时，F(x)0,即F(x)在(一2, x)单调递减，在(Xi, +s)单调递增，故 R*)在*= X1取最小值F(xi),而 F( Xi) = 2xi + 2 Xi 4xi 2 = Xi( Xi + 2) A 0.当 A 2 时，F(x)A0,即 f(x) Wkg(x)恒成立.若 k= e2,则 F (x)=2e2(x + 2)(ex e2),当 xn 2 时，F (x)A0,.Rx)在(2, 十)单调递增，而 F(2)=0, .当 xn 2 时，F(x)A0,即 f (x) w kg(x)恒成立， 若 ke2,贝U F( 2) = 2ke 2+2= 2e 2(ke2)0, .当 xn 2时，f(x) wkg(x)不可能恒成立.综上所述， k 的取值范围为 i ， e2.
