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1、3.12 传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内 被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行，危 害人们的健康和生命。在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国 家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病(AIDS)等。 有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传 染过程的定量研究具有重要的现实意义。传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式 获得科学数据。事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。所以有关传染病 的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中
2、获取。这些数据往往不够全面， 难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因， 利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。1) 问题提出上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有 关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传 染的人数大致不变？2) 问题分析社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因 素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能 力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采 用合理的假设，进行简化。我们把传染
3、病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible), 指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者 (Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者 (Removal)，指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。3) 建立模型(1) SI 模型 1SI 模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈，不考虑移出者，人员流动 图为：ST。假设1每个病人在单位时间内传染的人数为常数k 0。2. 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。记时刻t的得病人数为i (t)，开始时有i0个传染病人，则在A t时间内增加的病 人数为i (t + A
4、 t) 一 i (t) = k i (t) A t0于是得：di (t)= k i (t) dt 0i (0) = i0其解为：(t) = i0ek0。模型分析与解释：这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数 规律无限增加，显然与实际不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数(不 考虑传染病传播时期出生和迁移的人数)，在传染病传播期间，一个病人单位时 间内能传染的人数k0则是在改变的。在初期，k0较大，随着病人的增多，健康 者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小。(2) SI 模型2记时刻t的健康者人数为s(t)，假设1. 总人数为常数n，且i(t) + s(t) = n
5、。2. 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k (传染强度)。3. 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。可得方程：di (t)= ks (t) i (t) dti (0) = i0di (t)=ks (n 一 i) dt即 ”(0) = i0ni (t)=n解得：1 + ( - 1) e -knt i0nIn( - 1)diit =0模型分析：可以解得dt的极大值点为：i kn 。这可以表示传染病高峰时 刻。当传染强度k增加时，将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。 但当t T8时，i(t) T n，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。(3)
6、带宣传效应的 SI 模型(3)。假设1. 单位时间内正常人被传染的比率为常数r。2. 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。di (t)=r (n - i) 0开始，开展一场持续 的宣传运动，宣传强度为 a ，则所得的数学模型为：di=r (n - i) - anH (t - t ) dt0i (0) = i1H (t t )= t0t 10 为 Heaviside 函数。i ani(t) = n1 - (1 - Fe-rt -H (t - t )1 一 e-r(t-tOalim i (t) = n (1 - ) nt T +8r求得：nr 0，这表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率
7、减少。如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等，即在t = t1, J5 tm等m个时刻进行m次宣传，宣传 强度分别为a1，a 2，am，则模型变为:di=r (n - 1时,lim i(t ) =t T gnk 一 hknk-1时，1 Tgi (t) =0。这里出现了传染 00 00r (0) = r = 00di模型分析：由以上方程组得：ds/P = _k，si = p In 一 s + n所以s0，容易门槛，这与实际很符合，即人口越多，传染率越高，从得病到治愈时间越长，传 染病越容易流行。(5) SIR 模型。SIR 模型是指易感者被传染后
8、变为感病者，感病者可以被治愈，并会产生免疫力， 变为移出者。人员流动图为：Sf I-R。大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以 病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移 出者，记为 R 类。假设：1. 总人数为常数n，且i(t) + s(t) + r(t) = n ;2. 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k (传染强度)。3. 单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为 l ，称为恢 复系数。可得方程：di=ksi - lidtds=ksidt取初值:得出豊i() =0;而当s0WP时，i(t)单调下降趋于零；s0p时，i(t)先单调上 升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象： P 是一个 门槛。从P的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。1 ss (s p)令t T 8可得;以若记，所p In s + n = 0s s 2_00-，假定s0n，可得：08p6 P s0 = p+S，当时，s0 - s825，这也就解释了本文开头的问题，即同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变.i(0)
